Controle estatístico de processos multivariados baseado em funções cópula

O Controle Estatístico de Processos (CEP) é um poderoso conjunto de ferramentas utilizadas na resolução de problemas, a fim de reduzir a variabilidade e obter a estabilidade de produtos, serviços ou processos (Montgomery, 2016). O Gráfico de Controle é uma técnica de monitoramento amplamente utilizada, cujo principal objetivo é detectar a ocorrência de causas especiais que levam à mudança do processo quão breve ela ocorra. Um grande desafio no controle estatístico de qualidade é o monitoramento e identificação de mudanças em características da qualidade avaliadas simultaneamente. O gráfico de controle de processos multivariados baseado na estatística T² de Hotelling é o mais popular no que diz respeito ao monitoramento do vetor de médias. Porém, ele parte do pressuposto de que os dados seguem uma distribuição normal multivariada (o que, na prática, raramente ocorre) e são não-correlacionados. Baíllo e Cuevas (2006) propuseram o uso de regiões de tolerância, obtidas a partir de uma estimativa de conjunto de níveis de densidade, como ferramenta de detecção de mudanças. Verdier (2013), por sua vez, sugeriu que tal estimativa fosse realizada com base numa modelagem via Cópulas, que são ferramentas simples e versáteis para modelagem multivariada. Neste trabalho de dissertação de mestrado, apresentamos uma extensão da abordagem não-normal baseada em funções cópula, introduzida por Verdier (2013), para o caso trivariado. Em ambos os casos explorados (bivariado e trivariado), consideramos também as abordagens paramétrica e semi-paramétrica com uso de marginais Kernel (tal como em Verdier, 2013), e ainda apresentamos o caso totalmente não-paramétrico. Assim, inicialmente comparamos a região de tolerância bivariada derivada da modelagem via cópula com a usual baseada na estatística T² de Hotelling, ambas construídas sob a abordagem de estimação de conjunto de níveis de densidade. Especialmente para o caso multivariado (d > 2), apresentamos uma proposta inédita de gráfico de controle para detecção visual de mudanças no vetor de médias, intitulado Gráfico de Controle Cn, que é análogo `a tradicional região de tolerância. As simulações aqui realizadas permitiram a variação: (i) da distribuição original dos dados, em que consideramos os casos paramétrico (cópula e marginais paramétricas), semi-paramétrico (cópula paramétrica e marginais Kernel) e não-paramétrico (cópula não-paramétrica); (ii) do grau de associação entre as variáveis (fraca, moderada e forte); (iii) e da magnitude das mudanças ocorridas no vetor de médias. Por fim, aplicamos a metodologia proposta a um conjunto de dados bivariados sobre qualidade da água medida através do potencial hidrogeniônico (pH) e quantidade de nitrato, bem como a um conjunto de dados trivariados relacionados às medições da deflexão, curvatura e resistividade de termostatos bimetálicos em latão e aço. Ambos os conjuntos de dados estão disponíveis no pacote MSQC (Santos-Fernández, 2012) do programa estatístico R.