Continuous reductions on the Scott domain and decomposability conjecture

Réductions continues sur le domaine de Scott et conjecture de la décomposabilité Cette thèse fait partie de la théorie descriptive des ensembles qui est, historiquement, l'étude de la définissabilité dans les espaces polonais. Au cours des dernières décennies, l'avènement de l'informatique fondamentale a provoqué un intérêt grandissant pour les problèmes de définissabilité dans d'autres espaces topologiques plus généraux. Dans cette optique, de Brecht a récemment mis en évidence la classe des espaces quasi-polonais comme étant une classe d'espaces assez générale puisqu'elle contient de nombreux espaces topologiques impliqués dans le développement de l'informatique fondamentale, mais pas trop générale puisque leur théorie descriptive reste intéressante. Le domaine de Scott est l'ensemble des sous-ensembles d'entiers muni de la topologie de Scott. Il se démarque parmi les quasi-Polonais par son universalité, ce qui en fait un candidat idéal pour la tentative d'extension de la théorie descriptive des ensembles aux quasi-polonais. Dans la première partie de la thèse, nous adoptons ce point de vue et essayons d'étendre certains outils de la théorie descriptive des ensembles au domaine de Scott. Plus précisément, nous nous intéressons aux réductions continues sur le domaine de Scott. Tout d'abord, nous montrons que l'ordre partiel induit par les réductions par fonctions continues, appelé l'ordre de Wadge, sur les boréliens du domaine de Scott est mal-fondé et contient des antichaines infinies. De plus, nous montrons que ces propriétés, considérées comme mauvaises par la théorie descriptive, se trouvent déjà au niveau de complexité topologique le plus bas possible. Pour remédier à cela, nous étudions ensuite l'ordre partiel induit par les relations totales et relativement continues. Cette notion de réductions est plus générale que la notion de réductions par fonctions continues et elle induit une belle hiérarchie sur les sous-ensembles boréliens du domaine de Scott. En effet, l'ordre partiel induit sur ces sous-ensembles est un bel ordre, c'est-à-dire qu'il est bien fondé et ne contient aucune antichaine infinie. Nous caractérisons complètement cet ordre partiel en montrant qu'il est isomorphe à une structure bien connue en théorie descriptive, à savoir la restriction de l'ordre de Wadge sur les boréliens non-auto-duaux de l'espace de Baire qui est l'ensemble des suites infinies d'entiers muni de la topologie du préfixe. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de la théorie descriptive des ensembles classique, à savoir celui de la décomposabilité des fonctions boréliennes sur les espaces polonais, et appelé la Conjecture de la Décomposabilité. En utilisant la machinerie des arbres à questions développée par Duparc, nous présentons de nouvelles techniques qui permettent d'aborder cette conjecture sous une nouvelle perspective. En particulier, nous isolons une certaine hypothèse qui implique la Conjecture de la Décomposabilité sur les espaces polonais de dimension zéro. Nous prouvons également que cette hypothèse est vérifiée pour un grand nombre de fonctions, ce qui suggère qu'elle est atteignable en toute généralité.