Stabilized C1-bicubic finite element method for nonlinear MHD modeling of tokamak plasma

Méthode d'éléments finis C1-bicubique stabilisée pour la modélisation MHD non linéaire du plasma de tokamak Le tokamak est l’un des systèmes prometteurs mis au point pour exploiter l’énergie de fusion. Un tokamak est une chambre toroïdale dans laquelle un plasma chaud est confiné magnétiquement. Pour le bon fonctionnement des tokamaks, il est souhaitable que le plasma reste dans une configuration d’équilibre. Les ruptures de confinement, appelées disruptions, sont des événements inévitables et indésirables d’instabilités du plasma survenant dans les tokamaks qui peuvent dégrader les performances d’un tokamak et endommager gravement les parois du tokamak. Afin d’atténuer les effets néfastes des disruptions, une quantité massive de matière est injectée dans le plasma du tokamak. En plus des expériences et observations réalisées sur des tokamaks opérationnels, la compréhension et la maîtrise des stratégies d’injection passent souvent par les simulations numériques. En effet, la dynamique du plasma après l’injection s’accompagne interactions complexes que nous pouvons décrire par les équations de la MagnétoHydroDynamique (MHD). Il est donc primordial de développer des méthodes numériques robustes et précises pour obtenir par la simulation numérique une évaluation qualitative et quantitative des processus physiques complexes qui sont en œuvres. L’objectif principal de cette thèse est de développer des stratégies numériques pour la simulation des instabilités MHD dans les plasmas de tokamaks, en y incluant les ondes acoustiques rapides absentes dans les modèles réduits. Les développements sont effectués dans le cadre des méthodes d’éléments finis (FEM) dans une base décrite par des fonctions de Bézier bi-cubique de régularité C1. Les écoulements concernés sont très souvent dominés par la convection, par conséquent il est indispensable de prendre en compte les effets des échelles non résolues dans la formulation éléments finis. En pratique, les échelles non résolues sont prises en compte à la fois par une approche multi-échelle variationnelle et par une technique de capture des chocs. D’autres ingrédients viennent compléter l’approche numérique : le traitement de la singularité des grilles polaires, l’intégration temporelle par une méthode de Gears du second ordre pour des pas de temps variables. Le modèle numérique proposé est validé par rapport aux stratégies basées sur des modèles de MHD réduite. Une attention particulière est accordée aux simulations MHD non linéaires avec injection massive de matière dans le plasma de tokamak. Les équations de la MHD sont ici étendues pour y inclure le transport des neutres et des impuretés dans le plasma ainsi que les termes de source pour modéliser l’injection massive de matière. Le modèle résultant est utilisé pour simuler l’injection massive de gaz et l’injection de pastilles brisées dans un plasma de type JET. De nombreuses simulations non linéaires sont réalisées et démontrent la capacité, de la stratégie numérique développée, à capturer la dynamique complexe d’instabilités MHD dans lesquels se développent l’étouffement thermique et la stochastisation du champ magnétique.