Trefftz-DG Methods and Tent-Pitcher Algorithm for Spacetime Integration of Wave Problems

Méthodes Trefftz-DG et algorithme Tent-Pitcher pour la résolution des équations d’ondes dans le domaine espace-temps Dans cette thèse, nous étudions l'optimisation des méthodes Trefftz-Galerkine Discontinues avec l'algorithme Tent-Pitcher, ainsi que l'élaboration de conditions de bords adaptées. Nous considérons ces méthodes dans le cadre d'une équation des ondes acoustiques de premier-ordre en domaine temporel. L'idée des méthodes de Trefftz est d'utiliser des solutions locales de l'Équation aux Dérivées Partielles considérée comme fonctions de base. Une telle formulation présente l'avantage de n'être posée que sur le squelette du maillage. De plus, certaines caractéristiques des solutions analytiques sont directement injectées dans la solution discrète au travers des fonctions de base, ce qui nous incite à penser que la solution numérique obtenue sera plus précise. Cependant, le schéma qui résulte de cette méthode est implicite en espace-temps, ce qui entraîne un coût de calcul élevé. C'est pourquoi nous nous intéressons à l'algorithme Tent-Pitcher, qui est un algorithme de construction de maillages espace-temps introduit pour les problèmes hyperboliques et consiste en la construction d'un maillage causal permettant de résoudre le problème élément par élément. Le présent travail se découpe en deux parties. Dans la première partie, nous présentons un solveur Trefftz-DG avec Tent-Pitching déjà existant appliqué à l'équation des ondes acoustiques en espace-temps et son extension à des maillages triangulaires non-structurés. L'efficacité de la méthode est validée par comparaison des solutions numériques avec des solution analytiques. Dans l'optique d'optimiser la méthode en termes de temps de calcul, nous implémentons les différentes méthodes dans un environnement de Calcul Haute Performance. La performance des codes est testée et les solutions numériques sont comparées avec des solutions obtenues par une méthode différente. Dans la seconde partie, nous présentons des conditions aux bords de type absorbant que sont les Couches Absorbantes Parfaitement Adaptées pour l'équation des ondes acoustiques, ce qui implique la construction de solutions analytiques pour ce nouveau système d'équations, car le principe des méthodes de Trefftz repose sur l'utilisation de solutions locales comme fonctions de base. Pour ce faire, nous élaborons des fonctions de Green pour les équations d'ondes acoustiques en domaine temporel grâce à la méthode Cagniard-De Hoop. Enfin, nous implémentons ces conditions de bords dans le solveur Trefftz-Galerkine Discontinu avec Tent-Pitching sur des maillages structurés et présentons les résultats obtenus.