Méthode de décomposition de domaine basée sur une formulation de Trefftz pour l'acoustique anisotrope

Les méthodes de Trefftz sont des méthodes d'éléments finis discontinus, dans lesquelles les fonctions de base sont des solutions locales du problème étudié. Appliquées à des équations d'ondes en régime harmonique, elles ont la particularité de conduire à une formulation variationnelle posée uniquement sur le squelette du maillage, chaque élément étant lié à son voisin via une trace numérique dont la définition détermine l'efficacité de la méthode. Des études montrent que ces méthodes, comme toutes les méthodes de Galerkine discontinues, résistent mieux au phénomène de pollution numérique que les méthodes d'éléments finis continus. De plus, la taille du système linéaire de Trefftz est considérablement réduite, ce qui est très intéressant pour des applications géophysiques impliquant des domaines contenant un très grand nombre de longueurs d'ondes. Cependant, ces méthodes présentent un inconvénient majeur : elles dépendent très fortement des traces numériques qui jouent un rôle central dans la formulation variationnelle du problème. Afin d'expliciter mieux cette dépendance, nous revisitons la méthode de Trefftz écrite dans le formalisme des systèmes de Friedrichs étendus au régime harmonique. Pour cela, on exprime le problème à l'aide de nouvelles variables, issues de la décomposition spectrale du flux hyperbolique en un flux entrant et un flux sortant. La communication entre les éléments respecte le caractère hyperbolique du problème et la formulation de Trefftz qui en découle est bien posée. La nouvelle méthode est étudiée dans le cas où les espaces d'approximation sont des espaces d'ondes planes. La stabilité de la formulation tendant à s'affaiblir avec le nombre d'ondes planes, nous proposons des techniques de régularisation visant à renforcer la stabilité de la méthode tout en maintenant une bonne précision.