Study of the resolvent for the perturbed Schrödinger operator

Étude de la résolvante pour l'opérateur de Schrödinger perturbé Dans cette thèse, nous étudions les propriétés spectrales de l'opérateur de Schrödinger sur des domaines non bornés munis de métriques riemanniennes. On s'intéresse plus particulièrement au comportement asymptotique de sa résolvante au bord de l'ensemble résolvant, dans différents régimes en fréquence. La première partie de notre analyse a pour but d'étendre au cadre riemannien des résultats connus dans le cas euclidien. Nous commençons par traiter le régime basse fréquence, dans le cas de variétés asymptotiquement coniques. On prouve l'existence des limites de la résolvante et de ses puissances pour un opérateur de Schrödinger avec potentiel. Ce résultat permet notamment de retrouver la décroissance de l'énergie locale de la partie basse fréquence des solutions aux équations de Schrödinger, des ondes et de Klein-Gordon. Du point de vue technique, on utilise la théorie de Mourre pour prouver le principe d'absorption limite, ce qui nécessite un calcul pseudo-différentiel adapté de manière à traiter des opérateurs dépendants du paramètre spectral. Puis, on traite le régime haute fréquence, dans un cadre plus général que précédemment. D'une part on considère une classe de variétés incluant non seulement le cas asymptotiquement conique mais aussi asymptotiquement hyperbolique. D'autre part, on traite des perturbations à l'ordre un de l'opérateur de Schrödinger avec potentiel. Sous ces hypothèses, on obtient une estimation optimale de la résolvante sur la partie non compacte de la variété : celle-ci est bornée par l'inverse de la racine carrée du paramètre spectral. De plus, ces estimations sont obtenues dans des normes de type Besov, ce qui permet de considérer des topologies plus fortes que celles proposées dans la littérature. Pour finir, on traite la région compacte avec des résultats issus des inégalités de Carleman. Dans le dernier chapitre, on se place dans l'espace euclidien de dimension trois et quatre et on considère l'opérateur de Schrödinger avec un potentiel dont on suppose uniquement qu'il appartient à un espace de Lorentz. Plus précisément, on étudie la nature de la fréquence zéro ainsi que les propriétés de décroissance des états associés. On prouve que tout état résonnant appartenant à l'espace de Sobolev homogène d'ordre un est aussi dans un espace de Lebesgue faible. De plus, sous des hypothèses classiques d'orthogonalité entre l'état résonnant et le potentiel, on obtient l'intégrabilité L^2, L^{1, infini} et enfin L^1 de l'état résonnant.