Modèles discrets de dislocations : ondes progressives et dynamique de particules

Ce travail se concentre sur l'étude de la dynamique des dislocations dans le réseau cristallin et il est découpé en deux parties : la première partie porte sur les mouvements horizontaux d'une chaîne d'atomes en interaction contenant une dislocation. Bien que, la deuxième partie traite de l'accumulation de dislocations formant ce qu'on appelle des murs de dislocations. Dans la première partie, nous considérons une généralisation complètement nonlinéaire des équations de diffusion de réaction discrète également appelée “modèles de Frenkel-Kontorova complètement amortis” qui décrivent la dynamique des défauts cristallins (dislocations) dans un réseau. Nous étudions à la fois : les non-linéarités bistable et monostable. Dans des conditions suffisantes, nous montrons l'existence et l'unicité des ondes progressives pour le cas de non-linéarité bistable. Pour le cas monostable, nous étudions l'existence de la branche des solutions d'ondes progressives pour une non-linéarité Lipschitz général. Nous montrons également que la vitesse minimale est positive et délimitée ci-dessous. Dans cette partie, nous étudions aussi la généralisation du modèle de Frenkel-Kontorova pour laquelle nous pouvons ajouter un paramètre de force motrice. Nous illustrons également, dans ce cas, la variation de la vitesse de propagation des ondes progressives en fonction du paramètre de force. Dans la deuxième partie, nous étudions l'accumulation des dislocations dans les murs de dislocations. Nous montrons en fait la convergence de plusieurs dislocations qui interagissent sur les murs de dislocations. Nous présentons aussi les résultats de quelques expériences numériques qui confirment les résultats théoriques que nous obtenons