KW-Complexité des groupes et ses applications géométriques

Ce manuscrit présente les travaux de recherche effectués durant ma thèse, il est divisé en quatre parties principales. La première partie est consacrée aux outils topologiques pour introduire un nouvel invariant combinatoire, dit textit{{rm KW}-complexité}, des groupes de présentation finie. Dans la deuxième partie, on étudiera systématiquement cet invariant et ses propriétés générales. Nous analysons quelques classes de groupes dont la {rm KW}-complexité est soit calculée explicitement soit donnée par des encadrements. Ces classes de groupes forment un large spectre et on y trouve : les groupes de surfaces, les groupes d'Artin et de Coxeter, les groupes abéliens etc. La troisième partie est composée de trois sous-parties. La première consiste à l'étude de deux invariants géométriques des groupes : l'textit{aire systolique} vue comme invariant classique et textit{entropie volumique}. Pour cette dernière notion, on considère dans cette thèse une nouvelle définition et une analyse comparative des définitions existantes est également présentée. En second lieu, on exhibe les liens entre la {rm KW}-complexité et l'aire systolique d'une part et entre la {rm KW}-complexité et l'entropie volumique d'autre part. Pour la dernière sous-partie, nous apportons une nouvelle famille de groupes, qu'on nommera textit{groupes mous}, qui contient les groupes de Baumslag-Solitar généralisés. Nous montrons ensuite que l'entropie volumique de cette classe de groupe est nulle. Enfin, le manuscrit se termine par une liste de questions et de problèmes ouverts liés au sujet de cette thèse.