Matrices de Cartan, bases distinguées et systèmes de Toda

Dans cette thèse, nous nous intéressons à plusieurs aspects des systèmes de racines des algèbres de Lie simples. Dans un premier temps, nous étudions les coordonnées des vecteurs propres des matrices de Cartan. Nous commençons par généraliser les travaux de physiciens qui ont montré que les masses des particules dans la théorie des champs de Toda affine sont égales aux coordonnées du vecteur propre de Perron -- Frobenius de la matrice de Cartan. Puis nous adoptons une approche différente, puisque nous utilisons des résultats de la théorie des singularités pour calculer les coordonnées des vecteurs propres de certains systèmes de racines. Dans un deuxième temps, en s'inspirant des idées de Givental, nous introduisons les matrices de Cartan q-déformées et étudions leur spectre et leurs vecteurs propres. Puis, nous proposons une q-déformation des équations de Toda et construisons des 1-solitons solutions en adaptant la méthode de Hirota, d'après les travaux de Hollowood. Enfin, notre intérêt se porte sur un ensemble de transformations agissant sur l'ensemble des bases ordonnées de racines comme le groupe de tresses. En particulier, nous étudions les bases distinguées, qui forment l'une des orbites de cette action, et des matrices que nous leur associons.