Classification of P-oligomorphic groups, conjectures of Cameron and Macpherson

Classification des groupes P-oligomorphes, conjectures de Cameron et Macpherson Les travaux présentés dans cette thèse de doctorat relèvent de la combinatoire algébrique et de la théorie des groupes. Précisément, ils apportent une contribution au domaine de recherche qui étudie le comportement des profils des groupes oligomorphes.La première partie de ce manuscrit introduit la plupart des outils qui nous seront nécessaires, à commencer par des éléments de combinatoire et combinatoire algébrique.Nous présentons les fonctions de comptage à travers quelques exemples classiques, et nous motivons l'addition d'une structure d'algèbre graduée sur les objets énumérés dans le but d'étudier ces fonctions.Nous évoquons aussi les notions d'ordre et de treillis.Dans un second temps, nous donnons un aperçu des définitions et propriétés de base associées aux groupes de permutations, ainsi que quelques résultats de théorie des invariants. Nous terminons cette partie par une description de la méthode d'énumération de Pólya, qui permet de compter des objets sous une action de groupe.La deuxième partie est consacrée à l'introduction du domaine dans lequel s'inscrit cette thèse, celui de l'étude des profils de structures relationnelles, et en particulier des profils orbitaux. Si G est un groupe de permutations infini, son profil est la fonction de comptage qui envoie chaque entier n > 0 sur le nombre d'orbites de n-sous-ensembles, pour l'action induite de G sur les sous-ensembles finis d'éléments.Cameron a conjecturé que le profil de G est équivalent à un polynôme dès lors qu'il est borné par un polynôme. Une autre conjecture, plus forte, a été plus tard émise par Macpherson : elle implique une certaine structure d'algèbre graduée sur les orbites de sous-ensembles, créée par Cameron et baptisée algèbre des orbites, soutenant que si le profil est borné par un polynôme, alors l'algèbre des orbites est de type fini.Comme amorce de notre étude de ce problème, nous développons quelques exemples et faisons nos premiers pas vers une résolution en examinant les systèmes de blocs des groupes de profil borné par un polynôme --- que nous appelons P-oligomorphes ---,ainsi que la notion de sous-produit direct.La troisième partie démontre une classification des groupes P-oligomorphes, notre résultat le plus important et dont la conjecture de Macpherson se révèle un corollaire.Tout d'abord, nous étudions la combinatoire du treillis des systèmes de blocs,qui conduit à l'identification d'un système généralisé particulier, constituébde blocs ayant de bonnes propriétés. Nous abordons ensuite le cas particulier o`u il se limite à un seul bloc de blocs, pour lequel nous établissons une classification. La preuve emprunte à la notion de sous-produit direct pour gérer les synchronisations internes au groupe, et a requis une part d'exploration informatique afin d'être d'abord conjecturée.Dans le cas général, nous nous appuyons sur les résultats précédents et mettons en évidence la structure de G comme produit semi-direct impliquant son sous-groupe normal d'indice fini minimal et un groupe fini. Ceci permet de formaliser une classification complète des groupes P-oligomorphes,et d'en déduire la forme de l'algèbre des orbites : (à peu de choses près) une algèbre d'invariants explicite d'un groupe fini. Les conjectures de Macpherson et de Cameron en découlent, et plus généralement une compréhension exhaustive de ces groupes.L'annexe contient des extraits du code utilisé pour mener la preuve à bien,ainsi qu'un aperçu de celui qui a été produit en s'appuyant sur la nouvelle classification, qui permet de manipuler les groupes P-oligomorphes en usant d'une algorithmique adaptée. Enfin, nous joignons ici notre première preuve, plus faible, des deux conjectures.