La décomposition de Zariski : une approche valuative

La thèse s'intéresse au problème de la décomposition de Zariski en dimension supérieure à deux. Cette décomposition, qui existe sur les surfaces lisses, permet de décomposer un diviseur en une partie dite positive (précisément nef) et une partie dite négative (précisément effectif et de matrice d'auto-intersection définie négative). Cependant, cette décomposition n'existe pas toujours en dimension supérieure même en cherchant des modèles birationnels adaptés, comme cela fut montré par Nakayama. L'objectif de cette thèse est double : premièrement, d'exhiber un critère permettant de conclure à l'existence d'une décomposition de Zariski sur un certain modèle birationnel, et deuxièmement d'utiliser ce critère pour trouver un contre-exemple dans un cadre relatif. Pour cela, nous avons adopté un point de vue valuatif. En effet, l'espace de valuation étant invariant par changement de modèle birationnel, il est paru naturel de tenter d'obtenir un critère valuatif. Nous avons considéré l'application qui à une valuation associe son évaluation asymptotique (définie dans la thèse) et nous avons obtenu un critère relatif à la régularité de cette fonction (théorème 5.2.9) - précisément, il faut que cette fonction soit linéaire par morceaux sur chaque complexe simplicial de l'espace de valuation. Ensuite, nous avons appliqué ce critère dans le cadre particulier des variétés polarisées, et finalement sur une situation mise en avant par Cutkosky, pour trouver un contre-exemple à l'existence de la décomposition de Zariski dans un cadre relatif.