Optimisation topologique de la capacité portante de structures par l'analyse limite

Cette thèse présente les différentes pistes de recherche abordées pendant les trois ans de mon doctorat suite auxquelles nous avons élaboré une méthode d'optimisation innovante pour répondre aux besoins des bureaux d'études. Ce travail vise à étendre la théorie de l'analyse limite, qui consiste à calculer la capacité portante maximale de la structure, aux problèmes d'optimisation topologique.Les bureaux d'études cherchent à maximiser la capacité portante d'une structure existante ou la minimisation de volume de matière lors de la conception d'une nouvelle structure dans le but d'économiser de la matière. Toutefois, les outils de calculs non-linéaires par éléments finis dont ils ont besoin coûtent cher en terme de compétences informatiques, espace de stockage et temps de calcul. Nous proposons donc une nouvelle formulation du problème afin de trouver la répartition de matière pour laquelle la capacité portante de la structure est maximale, en renseignant le critère de résistance du matériau choisi et une fraction volumique de matière donnée, dans un domaine de calcul fixe.Le problème est relaxé en considérant un champs fictif de densités continues afin de le rendre convexe, et par la suite pouvoir le résoudre avec les solveurs coniques, Mosek en particulier.Un problème alternatif est proposé: trouver la répartition de matière pour laquelle le volume total de matière nécessaire pour que la structure résiste au chargement imposé est minimal. Il est démontré que ces deux problèmes sont équivalents et s'accordent avec les deux approches, statique et cinématique, du calcul à la rupture. Un critère L1-Rankine qui a comme particularité de favoriser les efforts uni-axiaux est introduit et comparé aux critères connus de Rankine et von Mises.Les problèmes de densités intermédiaires et de dépendance au maillage sont traités grâce à l'implémentation de processus de post-traitement: pénalisation de densités semblable au SIMP et contrôle de la norme du gradient de la densité.Le problème d'optimisation topologique par analyse limite est ensuite étendu à plusieurs matériaux. Le cas de deux matériaux est étudié en particulier pour éventuellement modéliser le béton armé. Il est également possible d'optimiser uniquement le matériau de renfort avec un matériau de fond occupant tout le reste du domaine. Un ensemble d'orientations possibles peut être imposé sur la direction du renfort. Les différents problèmes proposés peuvent être généralisés en un problème d'optimisation de densités pondérées, où le paramètre introduit montre le poids associé à la présence d'un matériau au dépend de l'autre.Enfin, les exemples d'application de l'outil sur des benchmarks divers sont illustrés afin de montrer l'efficacité et les avantages de la méthode proposée. Les résultats obtenus par optimisation topologique semblent ressembler aux schémas de Bielles-et-Tirants, méthode traditionnelle de l'Eurocode 2 basée sur les champs de contraintes élastiques.Une étude est menée pour comparer les résultats obtenus par l'application de notre méthode et ceux obtenus par la méthode de B&T chez Setec Tpi.