Saddle connections of flat surfaces with poles

Liens-selles des surfaces plates avec pôles Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes géométriques concernant les liens-selles de surfaces plates définies par des formes différentielles méromorphes ayant des pôles de degré arbitrairement grand. Dans le cas des 1-formes holomorphes, les surfaces sont d'aire finie et ont une infinité de liens-selles. Au contraire, pour les 1-formes méromorphes ainsi que les différentielles d'ordre supérieur (quadratiques et au delà) ayant des pôles dont le degré est suffisamment grand, les surfaces sont d'aire infinie et il est courant que le nombre de liens-selles soit fini. Nous étudions trois problèmes au sujet de telles surfaces. Le premier problème est la caractérisation des strates de différentielles dont les surfaces plates correspondantes ont toujours un nombre fini de liens-selles. Nous sommes parvenus à réduire le problème à un simple critère combinatoire relatif au profil de singularités de la strate. Pour ce premier problème, nous nous plaçons dans le cadre le plus général possible : celui des k-différentielles (de la forme f(z)dz^{k}) ayant au moins un pôle d'ordre supérieur ou égal à k. Le deuxième problème est celui de la caractérisation des groupes de Veech des surfaces plates avec pôles. Dans le cas classique des surfaces de (demi)-translation, il s'agit d'un problème très difficile. Ici, au contraire, la rigidité induite par la présence de pôles permet de donner une réponse complète. Enfin, nous proposons une caractérisation complète des familles de nombres complexes pouvant apparaître comme résidus aux pôles d'une différentielle méromorphe appartenant à une strate donnée. Ainsi, la géométrie plate permet de donner une réciproque au théorème des résidus dans laquelle on contrôle la multiplicité des singularités. Ce dernier résultat est le fruit d'une collaboration avec Quentin Gendron.