Free wreath products of quantum groups, operator algebras and approximation properties

Produits en couronne libres de groupes quantiques compacts, algèbres d’opérateurs et propriétés d’approximation Dans cette thèse nous nous intéressons aux produits en couronne libres de groupes quantiques compacts. La première partie de ce travail consiste en une présentation de l'état de l'art concernant cette construction définie d'abord par Bichon, et plus généralement de la théorie des groupes quantiques compacts de Woronowicz. Nous présentons aussi les principaux résultats de propriétés d'approximation pour les groupes quantiques et ce qui était connu jusqu'à présent relativement aux différentes constructions telles que le produit libre, notamment le cas amalgamé, le produit semi-direct, et enfin le produit en couronne libre. Nous présentons ensuite les résultats obtenus en étudiant les algèbres d'opérateurs des groupes quantiques qui sont des produits en couronne libres comme des C*-algèbres fondamentales de graphes de C*-algèbres. Cette représentation des algèbres permet d'utiliser certains résultats de stabilité de propriétés d'approximation pour montrer qu'elles passent au produit en couronne libre par le groupe quantique de permutations. La deuxième partie de ce travaille repose sur une nouvelle définition du produit en couronne libre, où l'unique hypothèse est que le second groupe quantique considéré agisse sur une C*-algèbre de dimension finie. La définition donnée est compatible avec les anciennes définitions et permet de décrire les C*-algèbres en donnant une représentation dans un produit libre amalgamé itéré, qui permet d'étendre les résultats de stabilité des propriétés d'approximations. Enfin, nous présentons une méthode systématique pour obtenir une action du produit en couronne libre sur une C*-algèbre en partant d'une action du premier groupe quantique considéré sur une première C*-algèbre. Cette action coincide avec la comultiplication lorsque la première action considérée est elle-même la comultiplication.