Graded loospaces in mixed characteristics and de Rham-Witt algebra

Espaces de lacets gradués en caractéristique mixte et algèbre de de Rham-Witt Cette thèse a pour but d'étudier une variation de la construction de l'espace des lacets gradués pour les schémas dérivés de caractéristique mixte, lorsqu'ils sont munis d'un relèvement du Fobenius. Nous développons une théorie de relèvement dérivé du Frobenius sur un champ dérivé : c'est un analogue homotopique de la notion de structures pour un anneau commutatif. La construction d'un espace de lacets gradués est la première étape d'une définition du complexe de De Rham-Witt pour un schéma dérivé. Dans ce contexte, un lacet est donné par l'action d'une "cercle cristallin", qui est un analogue formel du cercle topologique, muni d'un endomorphisme naturel donné par la multiplication par p. Dans ce langage, un complexe de Dieudonné dérivé peut être vu comme un module gradué muni d'une action du cercle cristallin. Nous développons aussi une notion de saturation d'un complexe de Dieudonné dérivé et nous montrons qu'elle coïncide avec la notion classique de saturation d'un complexe de Dieudonné dans le cas d'un anneau commutatif sans p-torsion. Nous avons également inclus une courte partie sur l'étude des fonctions graduées d'un champ linéaire : nous prouvons que les fonctions de poids 1 d'un champ linéaire retrouvent le complexe quasi-cohérent qui définit le champs, sous certaines conditions. Nous donnons également une description complète des fonctions graduées sur un champs linéaire en caractéristique nulle. Enfin, nous énonçons de nombreuses perspectives de développement de notre théorie de lacets gradués avec relèvement du Frobenius. En particulier, nous décrivons une théorie des formes symplectiques basée sur notre construction du complexe de de Rham-Witt et une théorie de feuilletages de Dieudonné sur un schéma dérivé, basée sur la notion de relèvement du Frobenius.