Numerical methods for complementarity problems, and optimal control problems under complementarity constraints

Méthodes numériques pour les problèmes de complémentarité et les problèmes de contrôle optimal sous contraintes de complémentarité Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, physique, transport, théorie des jeux et mathématiques. Dans cette thèse, on apporte plusieurs contributions théoriques, algorithmiques et numériques pour résoudre des problèmes de complémentarité et de contrôle optimal sous contraintes de complémentarité. On s’intéresse plus particulièrement aux méthodes de régularisation pour la résolution numérique de ces deux types de problèmes, où nous avons proposé de nouvelles techniques de régularisation. En effet, dans la première partie, nous nous sommes intéressés aux problèmes de contrôle optimal sous contraintes de complémentarité. Nous avons étudié les problèmes de contrôle optimal régis par les inégalités variationnelles elliptiques semi-linéaires impliquant des contraintes sur la variable d’état. Nous avons présenté un nouveau schéma de régularisation pour la contrainte de complémentarité. Nous avons prouvé l’existence de multiplicateurs de Lagrange. Ensuite, dans la deuxième partie, nous avons étudié les problèmes de complémentarité linéaire et non linéaire en proposant de nouvelles méthodes de régularisation pour résoudre ce genre de problèmes. L’idée de ces méthodes prend inspiration de la méthode des points intérieurs. Dans ce travail nous nous sommes concentrés sur les propriétés théoriques des algorithmes et leurs applications numériques.