Numerical optimisation of worm locomotion on frictional substrates

(English) Optimal control theory provides a framework to determine optimal inputs for mechanical systems modeled as initial value problems. The resulting minimisation problem may be solved with known direct and indirect methods. This PhD thesis focuses on the development of novel structure preserving discretisation techniques for optimal control problems, with application to the mechanical systems and the locomotion of limbless organisms. Firstly, our research focuses on developing structure preserving time-integration schemes in the context of optimal control theory. We propose a novel discretisation that preserves the control Hamiltonian, an integral of the analytical Euler-Lagrange equations of the optimal control problem (OCP). Additionally, we introduce a discretisation technique that is capable to preserve control angular momentum maps resulting from the rotational symmetry of the underlying OCP. Next, we investigate the stability of numerical solutions when optimisation problems are discretised in time. We show that the numerical stability and the presence of numerical oscillations depends not only on the time-step size, but also on the parameters of the objective functional, which measures the amount of control input. Furthermore, we demonstrate with an illustrative example that these findings also carry over non-linear OCPs. Secondly, the numerical solution of the discretised OCP is tested with two strategies: monolithic and staggered approaches. The monolithic strategy solves all the optimality conditions for all time-steps as a single system of non-linear equations, and relies on a Newton-Raphson scheme, which guarantees quadratic rates of convergence in the vicinity of the optimal solution trajectory. The staggered strategy is based on the Forward-Backward Sweep Method (FBSM), where state and adjoint equations are solved separately, and the control equations provides an update of the control variables. Additionally, we device a hybrid solution strategy which combines the advantages of a conventional gradient-based FBSM with the individual Newton-based solution procedures once the solution is close to the optimal trajectory. Finally, we present a comprehensive framework for modeling the locomotion of limbless organisms on frictional substrates using both 2D and 3D continuum models based on Finite Element (FE) methods. For the 2D continuum model, muscle activity is simulated with an active stress approach, while the 3D continuum problem incorporates a multiplicative decomposition of the deformation gradient, which allows mimicking a broad range of locomotion patterns in 3D contractile elastic solids. We propose a two-field FE formulation based on positions and velocities. Governing partial differential equations are transformed into equivalent time-continuous differential-algebraic equations (DAEs). Next, the optimal locomotion strategies are studied in the framework of optimal control theory. We resort to adjoint-based methods and deduce the first-order optimality conditions, that yield a system of DAEs with two-point end conditions. The resulting discrete first-order optimality conditions form a non-linear programming problem that is solved efficiently with the FBSM. Lastly, some representative numerical examples are provided to compare the numerical performance of the developed computational framework for limbless locomotion. We evaluate the efficiency of structure preserving schemes and the robustness of monolithic, staggered and hybrid strategies. Our numerical experiments show that the predictions of the developed limbless locomotion are capable of simulating distinct locomotion patterns, and that the monolithic, staggered, and hybrid schemes yield very similar solutions. However, the hybrid approaches become more advantageous with regard to the computation time when the time-step decreases or the size of the problem increases. (Català) La teoria de control òptim ofereix un marc per determinar entrades òptimes en sistemes mecànics modelats com un sistema de valor inicial. El problema de minimització resultant es pot resoldre per mètodes directes e indirectes. Aquesta tesis es centra en el desenvolupament de tècniques de discretització que preserven l'estructura per problemes de control òptim amb aplicacions a sistemes mecànics i la locomoció d'organismes sense extremitats. Primer, la investigació es centre en el desenvolupament de mètodes d'integració que preserven la estructura en el context d'optimització òptima. Es proposa una nova discretització que preserva el Hamiltonià del control, que és una integral de les equacions d'Euler-Lagrange del problema de control òptim (PCO). A més, s'introdueix una tècnica que és capaç de preservar també el moment angular resultant de la simetria rotacional del PCO. A continuació s'estudien la estabilitat numèrica de la solució quan es discretitza en el temps. Es demostra que aquesta estabilitat i la presència d'oscil·lacions numèriques depèn no només del pas de temps, si no també de paràmetres del funcional objectiu, que mesura la quantitat de control. S'il·lustra també amb un problema que aquests resultats també són aplicables a PCOs no lineals. En segon lloc, la solució numèrica del OCP discretitzat és resol amb dues estratègies: monolítica i esglaonada. La estratègia monolítica resol totes les condicions d'optimalitat per tots el passos de temps en un únic sistema no lineal d'equacions, i es basa en un esquema Newton-Raphson, que garanteix la convergència quadràtica en un entorn del la trajectòria òptima. La estratègia per passos es basa en el Forward-Backward Sweep Method (FBSM), on les equacions d'estat i adjuntes es resolen de forma separada, i les equacions de control permetre una actualització de les variables de control. Addicionalment, es dissenya una estratègia híbrida que combina les avantatges del mètode FBSM convencional basat en gradients, i solucion basades en mètodes de Newton quan la solució és propera a la trajectòria òptima.Finalment, es presenta un marc general pel modelat de la locomoció d'organismes sense extremitats en substrats friccionals utilitzant models 2D i 3D amb mètodes d'Elements Finits. Per model continu 2D, l'activitat muscular es simular amb tensions actives, mentre que en el model 3D s'incorpora una descomposició multiplicativa del gradient de deformació, que permet mimetitzar un rang ampli de patrons de locomoció en 3D per sòlids elàstics. Es proposa una formulació d'EF basada en posicions i velocitats. Les equacions de govern en derivades parcials es transformen en equacions equivalent diferencio-algebraiques (DAEs). A continuació, les estratègies de locomoció òptima s'estudien en el marc de teoria de control òptim. Es recorre a mètodes basat en l'adjunt i es dedueixen les condicions d'optimalitat de primer ordre, que donen lloc a un sistema de DAEs amb dos punts finals. Les condicions resultants discretes de primer ordre formen un problema de programació no lineal que es resolt eficientment amb FBSM.En darrer lloc es donen un exemples numèrics representatius per comparar el comportament dels algoritmes pel càlcul de la locomoció òptima. S'avaluen la eficiència dels esquemes conservatius i la robustesa de les estratègies monolítica, per passos, i híbrida. Es nostres experiments mostren diferents patrons del moviment en organismes sense extremitats, i resultats molt similars per les tres estratègies. No obstant, el mètode híbrid esdevé més avantatjós en quan al temps de càlcul quan el pas de temps decreix i la mida del problema s'incrementa.