Problème de temps de sortie pour les diffusions auto-interagissantes et auto-stabilisantes

Dans cette thèse, le problème du temps de sortie pour deux types de processus de diffusion non linéaire est étudié. Le premier processus est appelé diffusion auto-interagissante et est défini par l'équation différentielle stochastique suivante, incluant l'interaction du processus avec son propre passé :dX_t=σdW_t-(∇V(X_t )+1/t ∫_0^t∇F (X_t-X_s )ds)dt.La deuxième équation à laquelle on s'intéresse est un cas particulier du processus de McKean-Vlasov et nous l'appelons la diffusion auto-stabilisante. Elle est définie par l'équation différentielle stochastique suivante, incluant la convolution du processus avec sa loi au temps t, L(X_t ):dX_t=σdW_t-(∇V(X_t )+∇F*L(X_t )(X_t )ds)dt. Le problème du temps de sortie considéré ici est l'étude du premier instant auquel un processus de diffusion donné sort d'un domaine fixé G, dans un régime de faible bruit : τ≔inf⁡\{ t≥0:X_t∉G\} . En particulier, nous nous intéressons au comportement asymptotique du temps d'atteinte τ, lorsque le paramètre de diffusion σ→0, et nous recherchons la loi de type Kramers, c'est-à-dire τ≈e^(2H/σ^2 ),où H > 0 est une constante qui contrôle la vitesse de croissance du temps de sortie. De plus, nous décrivons l'emplacement des points où la diffusion peut quitter le domaine G (ce qui correspond au problème de localisation de sortie). La thèse se compose de 4 chapitres. Le premier chapitre présente les processus de diffusion auto-interagissants et auto-stabilisants, leurs propriétés importantes et l'état de l'art du problème de sortie. Les chapitres 2 et 3 sont axés sur le problème du temps de sortie pour les diffusions auto-interagissantes. Dans le chapitre 2, on suppose que les fonctions V et F sont convexes, ce qui nous permet d'utiliser des techniques de couplage standard pour établir la loi de type Kramers et le résultat de localisation de sortie. Le chapitre 3 ne suppose aucune convexité sur V ou F, ce qui rend le problème nettement plus difficile et intéressant. Dans ce chapitre, nous démontrons le principe des grandes déviations pour la diffusion auto-interagissante et utilisons des techniques similaires à la théorie de Freidlin-Wentzell, tout en tenant compte du fait que nous sommes dans un cadre non markovien. Avec cette approche, nous établissons la loi de type Kramers ainsi que le résultat de localisation de sortie. Enfin, le chapitre 4 résout le problème du temps de sortie pour les processus de diffusion auto-stabilisants avec des potentiels généraux V et F. Il s'agit d'un problème ouvert depuis plus de 15 ans. Pour l'étudier, nous utilisons des techniques de couplage améliorées afin d'établir la loi de type Kramers et les résultats de localisation de sortie.