Problèmes inverses et résonances locales dans les guides d’ondes mécaniques irréguliers

La détection et la reconstruction de défauts dans les guides d’ondes sont un enjeu contemporain important pour contrôler l’état de structures diverses allant des oléoducs aux fibres optiques, en passant par les conduits de centrales nucléaires ou les coques de navires. Cette thèse a pour but de mieux comprendre d’un point de vue mathématique la propagation des ondes en guide d’onde, pour pouvoir ensuite proposer des méthodes efficaces pour détecter et reconstruire avec précision d’éventuels défauts. Pour modéliser au mieux les dispositifs expérimentaux disponibles, on choisit ici d’utiliser des ondes se propageant à des fréquences variables et parfois voisines des fréquences de résonances. Si les fréquences sont éloignées des résonances, on montre que la reconstruction de défaut s’apparente à de l’inversion de Fourier avec données partielles, ce qui permet de reconstruire de manière stable la plupart des petits défauts présents dans les guides d’ondes. Si la fréquence est proche des résonances, les équations mathématiques sont très mal posées mais les ondes sont particulièrement sensibles aux défauts présents dans le guide. Des parallèles avec des travaux de physique quantique permettent une approximation asymptotique formelle de ces ondes sous forme de fonctions d’Airy lorsque le guide varie lentement. Grâce à ces approximations, on propose une méthode précise se basant sur le profil des fonctions d’Airy pour reconstruire entièrement les défauts de hauteur du guide.