Prolongement d'applications linéaires, espaces des fractions et problème des moments

Nous nous intéressons dans ce travail au prolongement d'applications linéaires, que ce soit des fonctions à valeurs scalaires ou des applications à valeurs opérateurs, sur des limites inductives d'espaces vectoriels topologiques en général et en particulier sur des algèbres d'opérateurs. Dans un premier lieu, nous regardons le problème dans le cadre le plus général c'est à dire celui de prolonger des formes linéaires sur une limite inductive d'espaces localement convexes. Nous donnons une condition nécessaire sur ces formes pour que le prolongement soit possible. Nous nous intéressons aussi au prolongement préservant la norme et nous donnons un exemple ou un tel prolongement n'est pas possible. Ensuite nous donnons une application de notre résultat principal dans le cadre des germes des fonctions holomorphes sur un compact de Cn. Puis nous généralisons les résultats obtenus dans le contexte des applications linéaires sur des C*-algèbres à valeurs opérateurs ce qui nous permet de généraliser l'application. En second lieu, nous considérons les mêmes questions dans le cas particulier de limites inductives: les espaces de fractions. Nous généralisons le résultat de F-H. Vasilescu dans le cas non commutatif ainsi que le problème des moments multidimensionnels sur un ensemble fermé non borné du corps des quaternion. En dernier lieu, nous nous intéressons aux applications complètement positives et complètement contractives à valeurs opérateurs sur des espaces de fractions. On considère le contexte non commutatif du papier de E. Albrecht et F -H. Vasilescu. Nous donnons un résultat pour chaque type de ses application linéaires. En applications aux résultats obtenues, on généralise notre problème des moments dans le cas opératoriel en introduisant une nouvelle mesure. Enfin, nous donnons une caractérisation des applications moments.