Grandes valeurs propres de graphes aléatoires dilués

Une matrice aléatoire n x n est diluée lorsque le nombre d'entrées non nulles est d'ordre n ; les matrices d'adjacence de graphes d-réguliers ou les graphes d'Erdös-Rényi de degré moyen d fixé sont dilués. Dans le premier chapitre, je démontre une borne supérieure sur la deuxième valeur propre de la matrice de transition sur certains graphes dilués, les graphes de configuration dirigés, dans lesquels on a spécifié le degré (entrant et sortant) de chaque sommet. On obtient aussi une généralisation importante du théorème de Friedman : la seconde valeur propre de la matrice d'adjacence d'un graphe d-régulier dirigé est inférieure à racine carrée de d+o(1). Dans le second chapitre, issu d'une collaboration avec Charles Bordenave, on donne une généralisation du théorème d'Erdös-Gallai. Le troisième chapitre, issu d'une collaboration avec Justin Salez, résout un problème posé en 2004 par Bauer et Golinelli : l'existence ou non d'états étendus dans le spectre limite des graphes d'Erdös-Rényi de paramètre d/n. On y démontre l'absence d'états étendus en zéro lorsque d < e et la présence d'états étendus lorsque d > e. Nos résultats s'étendent aux arbres de Galton-Watson unimodulaires. Je démontre également l'absence d'états étendus en zéro dans le spectre de l'arbre squelette d'Aldous. Le dernier chapitre est issu d'une collaboration avec Charles Bordenave et Raj Rao Nadakuditi. On y étudie les valeurs propres de la matrice d'adjacence A d'un graphe d'Erdös-Rényi de paramètre d/n, dans lequel les arêtes sont pondérées par les entrées d'une matrice symétrique P. On montre une transition de phase spectaculaire : il existe un seuil Thêta dépendant de P et de d tel que les plus grandes valeurs propres de (n/d)A convergent vers les valeurs propres de P plus grandes que Thêta, et tel que les vecteurs propres de A associés sont alignés avec ceux de P.