Many aspects of graph coloring

Divers aspects de la coloration de graphes La coloration des graphes est un sujet central en théorie des graphes, et divers concepts de coloration ont été étudiés dans la littérature. Cette thèse étudie certains de ces concepts de coloration et les problèmes associés. Il s'agit notamment de la coloration des graphes signés généralisés, du nombre de choix fractionnels forts des graphes, du nombre de coloration généralisé des graphes, de la largeur gémellaire des graphes, de la discordance (combinatoire) des systèmes d'ensembles définissables et des classes de graphes chi_p-bornées. Un graphe signé est une paire (G, sigma), où G est un graphe et sigma: E (G) to {+,-} est une signature. Un graphe signé généralisé est également une paire (G, sigma), où la signature sigma attribue à chaque arête e une permutation sigma(e) dans un ensemble S comme son signe. Dans une coloration d'un graphe signé ou d'un graphe signé généralisé (G, sigma), le signe sigma(e) détermine les paires de couleurs qui doivent être évitées en tant que couleurs des sommets terminaux de e. Une question naturelle motivée par le théorème des quatre couleurs est de savoir pour quels sous-ensembles S de S_4, tout graphe planaire est S-4-colorable. Cette question a maintenant une réponse complète: seul S={id} possède cette propriété, ce qui signifie que le théorème des quatre couleurs est strict au sens de la coloration généralisée des graphes signés. Ce résultat a été établi par une séquence de six articles, par différents groupes d'auteurs. L'une des contributions de cette thèse est le résultat établi dans l'un de ces articles, à savoir que de nombreux ensembles S n'ont pas la propriété désirée. La thèse considère également des questions similaires pour les graphes planaires sans triangle, ce qui peut être considéré comme une exploration de l'étanchéité du théorème de Grötzsch. Notre résultat montre que pour tout sous-ensemble S de S_3, si S n'est pas conjugué à un sous-ensemble de {id, (12)}, alors il existe un graphe planaire sans triangle qui n'est pas S-3-colorable. Une autre tentative pour renforcer le théorème de Grötzsch est de considérer le nombre de choix fractionnaire fort des graphes planaires sans triangle. Il a été prouvé par Voigt qu'il existe des graphes planaires sans triangle qui ne sont pas 3-choissables. Cette thèse prouve que le supremum du nombre de choix fractionnel fort des graphes planaires sans triangle est au moins 3+1/17. Un sujet important de la théorie structurelle des graphes est l'étude de la complexité structurelle des graphes. Quelques concepts et invariants de graphes sont largement étudiés dans la littérature. Récemment, le concept de largeur gémellaire a été introduit. Dans cette thèse, nous prouvons qu'un graphe G sans sous graphe K_{s,s} et de largeur gémellaire d a ses nombres de coloration forts (faibles) r bornés supérieurement par une fonction exponentielle en r et que nous pouvons construire des graphes réalisant une telle dépendance en r. L'une des deux notions centrales de la théorie structurelle des classes de graphes éparses est celle de classes d'expansion bornée. La discordance combinatoire est un sujet important. Elle mesure les irrégularités inévitables des systèmes d'ensembles et la difficulté intrinsèque de leur approximation. Dans cette thèse, nous donnons une nouvelle caractérisation des classes d'expansion bornée en termes de discordance de système définissables. La notion de chi-boundedness est un sujet central en théorie des graphes chromatiques. Dans cette thèse, les classes chi-bornées sont étudiées ici dans le contexte des colorations stellaires et, plus généralement, des chi_p-colorations. Considéré dans le cadre général de l’étude des classes éparses, il conduit à des extensions naturelles de la notion de classe d'expansion bornée. Nous résolvons ici deux conjectures liées à la limitation du nombre chromatique stellaire (i.e. chi_2). Nous donnons des caractérisations structurelles des classes (fortement et faiblement) chi_p-bornée