Treewidth : algorithmic, combinatorial, and practical aspects

Treewidth : aspects algorithmiques, combinatoires et pratiques Dans cette thèse, nous étudions la complexité paramétrée de problèmes combinatoires dans les graphes. Plus précisément, nous présentons une multitude d’algorithmes de programmation dynamique ainsi que des réductions montrant que certains de ces algorithmes sont optimaux. Nous nous intéressons principalement à la treewidth, un paramètre de graphes pouvant être vu comme une mesure de distance entre la structure d’un graphe et la structure topologique d’un arbre. Certains de nos algorithmes sont aussi paramétrés par la taille de la solution demandée et le degré maximum du graphe donné en entrée. Nous avons obtenu un certain nombre de résultats dont certains d’entre eux sont listés ci-dessous. Nous présentons un encadrement du nombre de graphes étiquetés de treewidth bornée. Nous étendons le domaine d’application de la théorie de la bidimensionalité par contraction au delà des graphes ne contenant pas de graphe apex en tant que mineur. Nous montrons aussi que la technique des structures de Catalan, outil améliorant l’efficacité des algorithmes résolvant des problèmes de connexité lorsque le graphe d’entrée est creux, ne peut être appliquée à la totalité des problèmes de connectivité, même si l’on ne considère, parmi les graphes creux, que les graphes planaires. Nous considérons le problème F-M-Deletion qui, étant donné une collection de graphes F, un graphe G et un entier k, demande s’il est possible de retirer au plus k sommets de G de telle sorte que le graphe restant ne contienne aucun graphe de F en tant que mineur. Nous considérons aussi la version topologique de ce problème, à savoir F-TM-Deletion. Ces deux problèmes généralisent des problèmes de modification de graphes bien connus tels que Vertex Cover, Feedback Vertex Set et Vertex Planarization. En fonction de la collection de graphes F, nous utilisons différentes techniques de programmation dynamique pour résoudre F-M-Deletion et F-TM-Deletion paramétrés par la treewidth. Nous utilisons des techniques standards, la structure des graphes frontières et l’approche basée sur le rang. En dernier lieu, nous appliquons ces techniques algorithmiques à deux problèmes issus du réseau de communications, à savoir une variation du problème classique de domination et un problème consistant à trouver un arbre couvrant possédant certaines propriétés, et un problème issu de la bioinformatique consistant à construire un arbre contenant en tant que mineur (topologique) un ensemble d’arbres donnés correspondant à des relations d’évolution entre ensembles d’espèces.