Some Strategies Addressing Non-Convex Variational Problems in Image Processing

Quelques stratégies pour traiter des problèmes variationnels non convexes en traitement d'images La non-convexité est l'un des défis les plus importants rencontrés dans les formulations variationnelles de problèmes inverses à grande échelle. Elle peut être inhérente à la formulation du problème ou induite par le choix de modèles spécifiques qui sont censés mieux encoder l'information a priori sur la solution. Des stratégies efficaces doivent donc être adoptées pour définir des garanties de convergence vers des optima locaux (ou idéalement globaux) des méthodes itératives. Dans cette thèse, nous étudions une approche variationnelle, une approche géométrique et une approche analytique pour traiter la non-convexité dans le contexte des problèmes inverses survenant en vision par ordinateur et en traitement du signal.Tout d'abord, nous examinons une classe d'approches qui s'appuient sur l'idée de construire des fonctions de substitution convexes à la fonction objective considérée. Dans le cadre du débruitage d'images, nous proposons une forme non convexe de régularisation par variation totale directionnelle, qui appartient à la classe des approches Convexes-Non-Convexes. Ces méthodes utilisent des régularisateurs paramétriques non-convexes dont la non-convexité peut être ajustée de manière à ce que la fonction objectif totale, composée d'un terme de fidélité fortement convexe et d'un terme de régularisation non-convexe, soit convexe. Nous traitons le problème de minimisation résultant avec un algorithme primal-dual. Par des simulations numériques, nous montrons que le modèle proposé combine les avantages de la régularisation non-convexe et de la régularisation directionnelle.Dans la deuxième partie de la thèse, nous abordons un problème entièrement non-convexe et nous exploitons la célèbre inégalité de Kurdyka-Łojasiewicz pour démontrer la convergence d'un schéma de minimisation alterné proximal inexact appelé P-SASL-PAM. Le problème que nous considérons correspond à une formulation variationnelle originale modélisant le problème conjoint de reconstruction d'images et d'extraction de caractéristiques. Ce problème généralise celui de restauration et de segmentation d'images conjointes. L'algorithme P-SASL-PAM proposé réalise des calculs proximaux inexacts et mélange des étapes standard et linéarisées pour exploiter efficacement la structure du problème et la régularité des fonctions impliquées. Il inclut également des accélération à l'aide de métriques variables. Nous testons notre cadre dans le contexte de la restauration/segmentation non aveugle d'images ultrasonores. Notre modèle variationnel fournit des résultats comparables à d'autres approches variationnelles et bayésiennes dans le domaine.La dernière partie de la thèse se concentre sur les fonctions faiblement convexes et la notion connexe de sous-différentiel proximal. Nous commençons par établir une règle de sommation pour le ɛ-sous-différentiel proximal de la somme de deux fonctions faiblement convexes et nous l'utilisons ensuite pour définir un lien entre une notion de points proximaux inexacts et les ɛ-sous-différentiels proximaux d'une fonction faiblement convexe. Ensuite, nous étudions un algorithme forward-backward (éventuellement inexact) pour résoudre les problèmes faiblement convexes et nous utilisons une hypothèse d'acuité ("sharpness") pour la fonction objectif afin d'établir un résultat de convergence linéaire. Enfin, nous considérons des problèmes de faisabilité qui emploient des fonctions faiblement convexes et présentons des simulations numériques dans le contexte de la tomographie discrète.