Convex hull peeling

Enveloppes convexes pelées Cette thèse porte sur la construction du convex hull peeling (qu’on pourrait traduire littéralement par enveloppe convexe pelée). Le convex hull peeling d’un ensemble localement fini X consiste à prendre l’enveloppe convexe de X , puis à enlever les points sur le bord de l’enveloppe et ensuite à répéter l’opération jusqu’à ce qu’il ne reste plus de points. Le bord de l'enveloppe obtenue à la n-ième étape est appelée n-ième couche du convex hull peeling de X . On s'intéresse plus particulièrement au cas où X est un processus ponctuel de Poisson homogène dans un corps convexe K d'intérieur non vide de \mathbb{R}^d . Ce procédé généralise alors les polytopes aléatoires obtenus comme enveloppe convexe de points jetés au hasard. On recherche notamment le nombre de k-faces et les volumes intrinsèques des couches successives du convex hull peeling lorsque l'intensité du processus de Poisson est \lambda fois la mesure de Lebesgue dans K et \lambda tend vers l'infini.Le premier chapitre de cette thèse rappelle d'abord quelques résultats de géométrie stochastique et de géométrie convexe. Nous nous concentrons ensuite sur la description des principaux résultats connus sur les polytopes aléatoires. On peut noter en particulier que l'espérance du nombre de points sur le bord de l'enveloppe convexe est polynomial en lambda lorsque K est un corps convexe lisse tandis qu'il est logarithmique lorsque K est lui-même un polytope.Dans un deuxième chapitre, nous donnons quelques définitions et résultats généraux sur le convex hull peeling déterminimiste, puis nous présentons de manière précise les principaux résultats existants sur le convex hull peeling de points aléatoires. Le premier résultat, dû à Dalal montre que l'ordre de grandeur de l'asymptotique de l'espérance du nombre de couches du convex hull peeling est polynomial et ne dépend pas de la région bornée de \mathbb{R}^d dans laquelle on jette les point. Nous décrivons ensuite la contribution de Calder et Smart qui obtiennent une limite presque sûre et en espérance pour le numéro de couche de chaque point de K dans le convex hull peeling de processus de Poisson généraux dans K .Le chapitre 3 est dédié à l’étude des premières couches du convex hull peeling d’un processus de Poisson d’intensité lambda fois la mesure de Lebesgue dans la boule unité de \mathbb{R}^d . On y obtient une limite pour l’espérance et la variance renormalisées du nombre de k-faces ainsi que de tous les volumes intrinsèques pour les premières couches du convex hull peeling. En particulier les ordres de grandeur obtenus sont les mêmes pour les premières couches que pour la toute première. On montre par ailleurs que les limites obtenues sont non nulles et on établit enfin un théorème central limite pour chacune de ces quantités. On s'appuie sur un changement d'échelle qui nous amène dans un modèle parabolique et sur un résultat de stabilisation dans ce nouveau modèle. La clé pour montrer la stabilisation est une estimation de la hauteur de chacune des couches.Enfin le chapitre 4 concerne le cas où le convexe mère K est un polytope simple. Y sont obtenues les limites de l’espérance et de la variance renormalisées du nombre de k-faces des premières couches du convex hull peeling. Les ordres de grandeurs sont là encore les mêmes que ceux de la première couche. Nous nous appuyons également sur un changement d'échelle et un résultat de stabilisation. En revanche ce changement d'échelle n'est possible que dans un voisinage de chacun des sommets de K , ce qui nous amène à montrer que l'on peut sommer les nombres de k -faces au voisinage de chaque sommet et que la contribution des points loin des sommets est négligeable. Cela nécessite un résultat intermédiaire intéressant en soi qui porte sur la localisation entre deux corps flottants des premières couches.Chacun des deux derniers chapitres se conclut par une liste de questions ouvertes et perspectives.