Set theory of derived functors

Théorie des ensembles de foncteurs dérivés Cette thèse explore ce que la théorie des ensembles peut apporter à l'étude des foncteurs dérivés. Ces objets algébriques servent à mesurer dans quelle mesure un foncteur donné s'écarte de l'exactitude. La thèse se concentre en particulier sur les foncteurs dérivés de la limite projective et du foncteur Ext. Ces foncteurs peuvent être décrits comme des quotients issus de certains complexes cohomologiques, et la théorie des ensembles peut leur être appliquée de deux manières principales. La première application concerne la combinatoire infinie. Pour les limites dérivées de certains systèmes projectifs de groupes abéliens, les co-cycles correspondent à des familles de fonctions dites «cohérentes», c'est-à-dire présentant un comportement « local », tandis que les co-bords traduisent l'extension de ce comportement au niveau global. Ainsi, les foncteurs dérivés mesurent une forme d'incompacité, c'est-à-dire un écart entre le local et le global. Dans cette thèse, nous démontrons plusieurs résultats de cohérence liés à cette incompacité pour des systèmes projectifs indexés par divers idéaux d'ensembles. Pour cela, nous utilisons la technique du forcing, certains principes combinatoires valables dans l'univers constructible, tels que Diamond et Square, ainsi que des faits concernant les invariants cardinaux du continu. Parmi d'autres résultats, nous montrons que les limites dérivées en dimension deux ou plus d'un système projectif largement étudié peuvent simultanément ne pas s'annuler. Nous prouvons également que, pour une certaine classe de systèmes indexés par l'ensemble des fonctions d'un cardinal infini vers le plus petit cardinal infini, toutes les limites dérivées dont l'annulation n'est pas garantie par un théorème de Goblot ne s'annulent pas dans l'univers constructible. La seconde application de la théorie des ensembles à ces quotients relève de la théorie descriptive des ensembles et de l'étude des modules polonais ou munis d'un revêtement polonais. En particulier, certains résultats de cette thèse concernent les objets injectifs et projectifs dans la catégorie des groupes abéliens polonais pro-Lie. Les modules à revêtement polonais sont les quotients d'un module polonais par un sous-module pouvant être muni d'une topologie polonaise compatible avec la structure borélienne ambiante. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions la complexité - au sens de la théorie descriptive des ensembles - du sous-module trivial de Ext(C,A), lorsque ce dernier est vu comme un module à revêtement polonais, avec A et C des modules plats dénombrables sur un anneau de Dedekind dénombrable. Cela correspond à la complexité borélienne potentielle de la relation d'isomorphisme entre suites exactes courtes, les premier et troisième modules étant fixés. Cette étude repose sur une suite décroissante de sous-foncteurs indexée par les ordinaux dénombrables, donnant lieu à des analogues supérieurs des modules injectifs et projectifs. Nous caractérisons ainsi ces modules, et montrons notamment que si un module plat dénombrable sur un anneau de Dedekind dénombrable n'est pas injectif, alors il ne l'est pour aucun des analogues supérieurs.