Enumerative study of intervals in lattices of Tamari type

Étude énumérative des intervalles dans les treillis de type Tamari Le treillis de Tamari est un ordre partiel sur les objets comptés par les nombres de Catalan. Plusieurs descriptions de ce treillis existent et donnent lieu à différentes familles de généralisations. Dans cette thèse, on étudie ces différents ordres partiels et notamment leurs intervalles, en particulier d'un point de vue énumératif.Après une première partie préliminaire, une seconde partie concerne concerne l'étude de la sous-famille des intervalles linéaires dans le treillis de Tamari et ses différentes généralisations. On définit en particulier les familles des ordres alt-Tamari et alt ν-Tamari. On prouve bijectivement des résultats d'équidistribution de ces intervalles linéaires, que l'on énumère dans le cas des treillis alt-Tamari.Une troisième partie se penche sur une conjecture de Stump, Thomas et Williams selon laquelle les treillis m Cambriens en type A linéaire et m-Tamari auraient le même nombre d'intervalles. On présente et généralise l'étude dans le cas m-Tamari, puis on étudie les treillis m-Cambriens, dont on propose une nouvelle description conjecturale.