Indices in number fields and their applications

Indices dans les corps de nombres et leurs applications Dans la première partie de cette thèse, on considère les extensions cycliques simples Km/Q de degré 4. Ces dernières sont les extensions quartiques définies par les polynômes irréductibles x⁴-mx³-6x²+mx+1, où m est un entier tel que la partie impaire de m²+16 est sans facteur carré. Nous étudions l'indice I(Km) et déterminons la décomposition explicite des nombres premiers dans l'extension Km/Q. Ensuite, nous calculons une formule asymptotique qui donne le nombre des Km ayant le même indice, avec discriminant inférieur ou égal à x. Dans la seconde partie, nous étudions l'entier suivant introduit par Gunji et McQuillan : i(K)=ppcm{i(θ)} où i(θ)=pgcd{F(x)}, x dans Z et F le polynôme caractéristique de θ. Nos principaux résultats pour cette partie sont les suivants : 1. Si p est un nombre premier inférieur ou égal à n, alors il existe un corps de nombres K de degré n tel que p divise i(K). 2. Nous calculons i(K) pour les corps de nombres cubiques, et nous déterminons I(K) et i(K) pour des familles de corps de nombres de degré inférieur ou égal à 6. 3. Soit p un nombre premier. Nous prouvons que le type de décomposition de p dans OK ne suffit pas pour déterminer complètement la valuation p-adique vp(i(K)). Pour cela, nous donnons des exemples de deux corps de nombres K₁ et K₂ de degré 6, tels que le type de décomposition de 2 est P₁P₂ mais v₂(i(K₁)) est différente v₂(i(K₂)). 4. Nous répondons à deux questions posées dans par plusieurs auteurs. On étudie aussi une conjecture. Dans la dernière partie, nous appliquons les résultats sur l'indice des corps de nombres cubiques pour la résolution des équations cubiques de Thue ax³+bx²y+cxy²+dy³=k ainsi nous donnons des applications pour résoudre des formes homogènes cubiques et des courbes elliptiques.