Tropical linear series, combinatorial flag arrangements and applications to the study of Weierstrass points

Séries linéaires tropicales, arrangements combinatoires de drapeaux et applications à l'étude des points de Weierstrass Nous introduisons d'abord un nouvel objet combinatoire nommé “matricube”, une généralisation naturelle des matroïdes. De même que les matroïdes fournissent une axiomatisation combinatoire des arrangements d'hyperplans dans un espace vectoriel, les matricubes représentent des arrangements de drapeaux. Comme pour les matroïdes, nous donnons des définitions cryptomorphes des matricubes en termes de fonction de rang, plats, circuits et indépendants. Nous donnons des liens précis entre les matricubes et les tableaux de permutation, et proposons une description des matricubes selon des matroïdes locaux.Nous utilisons ensuite les matricubes pour développer une théorie purement combinatoire des séries linéaires sur les graphes métriques. Ceci se fonde également sur le formalisme des structures de pentes, donnant des contraintes sur les pentes des fonctions méromorphes tropicales. Nous montrons que les séries linéaires combinatoires apparaissent naturellement par tropicalisation de séries linéaires sur des courbes algébriques. Nous explorons leurs propriétés topologiques et développons des outils pour les étudier. Nous proposons une classification complète des séries linéaires combinatoires de rang un, montrant qu'elles sont en bijection avec les morphismes harmoniques du graphe vers des arbres métriques. Ceci donne un théorème de lissification.Enfin, nous étudions les points de Weierstrass tropicaux, qui sont des analogues, sur les courbes tropicales, de points de ramification de fibrés en droites sur les courbes algébriques. Le lieu de Weierstrass tropical d'un diviseur sur un graphe métrique peut être infini. Cependant, nous associons un poids intrinsèque à chacune de ses composantes connexes. Nous montrons que le poids total du lieu de Weierstrass tropical ne dépend que du degré du diviseur, de son rang, et du genre de la courbe tropicale. De plus, dans le cas d'un graphe métrique obtenu comme tropicalisation d'une courbe algébrique, nous montrons, en utilisant les séries linéaires combinatoires, que ces poids comptent le nombre de points de Weierstrass algébriques tropicalisés sur chaque composante connexe du lieu tropical.Dans chacune de ces contributions, nous présentons de nombreux exemples et posons des questions ouvertes menant vers d'autres perspectives de recherche.