Polyharmonic eigen value problems of the Steklov type

Problèmes de valeurs propres du bilaplacien, avec conditions de bords du type Steklov Cette thèse porte sur deux problèmes de valeurs propres de type Steklov pour l’opérateur biharmonique : le problème classique et une variante de celui-ci. En particulier, la minimisation des valeurs propres dans la classe des domaines convexes, tant en deux qu’en trois dimensions, est étudiée. Dans la première partie, les deux problèmes sont présentés et des bornes explicites sur la première valeur propre de chaque problème sur les ellipses sont dérivées. En utilisant ces bornes, l’optimalité globale de la sphère est démontrée dans la classe des ellipses sous contrainte de diamètre pour la première valeur propre des deux problèmes. Dans la deuxième partie, les dérivées de forme du premier et du deuxième ordre des valeurs propres simples des deux problèmes sont calculées, et la minimalité locale de la sphère pour la première valeur propre du problème variant est démontrée dans toutes les dimensions, sous les contraintes de volume et de surface. Dans la troisième partie de cette thèse, la méthode des solutions fondamentales (MFS) est mise en œuvre pour étudier numériquement les valeurs propres des deux problèmes, en dimensions deux et trois. En utilisant cette méthode, les minimiseurs globaux des premières valeurs propres du problème classique sont obtenus numériquement dans la classe des domaines strictement convexes et lisses, en utilisant la notion de fonctions de support du bord. Enfin, en couplant l’algorithme MFS avec l’Optimisation Bayésienne, les valeurs propres du problème variant sont étudiées dans la classe des domaines strictement convexes, représentés par des courbes de Bézier d’ordre deux et trois. De plus, les valeurs propres des deux problèmes sont optimisées dans la classe des polygones et polyèdres