Énumération de cartes planaires orientées

Après une présentation générale des cartes planaires, nous définissons les polyèdres en coin, étudiés par Eppstein et Mumford. Nous en venons rapidement à introduire les triangulations en coin, qui sont les cartes duales des squelettes des polyèdres en coin, et en donnons quelques propriétés. Nous proposons un algorithme de réalisation de polyèdres en coin de complexité linéaire. Pour cela, l'étude des triangulations en coin conduit à des problèmes d'énumération. Une méthode classique, connue depuis Tutte, donne le résultat voulu en faisant intervenir la série des nombres de Catalan. La recherche d'une explication combinatoire à la présence des nombres de Catalan a rendu souhaitable l'utilisation d'autres méthodes, fondées sur des découpages et des recollements de morceaux de triangulations en coin. Ainsi apparaît la famille des triangulations en amande, qui est une nouvelle représentation des nombres de Catalan, qui est en bijection directe avec la famille des arbres binaires, et qui complète notre algorithme de réalisation de polyèdres en coin. Nous apportons enfin une conclusion à ces travaux en tentant de généraliser nos méthodes à des cartes dont les faces sont de degré fixé, mais quelconque.