(Méta)-noyaux constructifs et linéaires dans les graphes peu denses

En algorithmique et en complexité, la plus grande part de la recherche se base sur l’hypothèse que P ≠ NP (Polynomial time et Non deterministic Polynomial time), c'est-à-dire qu'il existe des problèmes dont la solution peut être vérifiée mais non construite en temps polynomial. Si cette hypothèse est admise, de nombreux problèmes naturels ne sont pas dans P (c'est-à-dire, n'admettent pas d'algorithme efficace), ce qui a conduit au développement de nombreuses branches de l'algorithmique. L'une d'elles est la complexité paramétrée. Elle propose des algorithmes exacts, dont l'analyse est faite en fonction de la taille de l'instance et d'un paramètre. Ce paramètre permet une granularité plus fine dans l'analyse de la complexité.Un algorithme sera alors considéré comme efficace s'il est à paramètre fixé, c'est-à-dire, lorsque sa complexité est exponentielle en fonction du paramètre et polynomiale en fonction de la taille de l'instance. Ces algorithmes résolvent les problèmes de la classe FPT (Fixed Parameter Tractable).L'extraction de noyaux est une technique qui permet, entre autre, d’élaborer des algorithmes à paramètre fixé. Elle peut être vue comme un pré-calcul de l'instance, avec une garantie sur la compression des données. Plus formellement, une extraction de noyau est une réduction polynomiale depuis un problème vers lui même, avec la contrainte supplémentaire que la taille du noyau (l'instance réduite) est bornée en fonction du paramètre. Pour obtenir l’algorithme à paramètre fixé, il suffit de résoudre le problème dans le noyau, par exemple par une recherche exhaustive (de complexité exponentielle, en fonction du paramètre). L’existence d'un noyau implique donc l'existence d'un algorithme à paramètre fixé, la réciproque est également vraie. Cependant, l’existence d'un algorithme à paramètre fixé efficace ne garantit pas un petit noyau, c'est a dire un noyau dont la taille est linéaire ou polynomiale. Sous certaines hypothèses, il existe des problèmes n’admettant pas de noyau (c'est-à-dire hors de FPT) et il existe des problèmes de FPT n’admettant pas de noyaux polynomiaux.Un résultat majeur dans le domaine des noyaux est la construction d'un noyau linéaire pour le problème Domination dans les graphes planaires, par Alber, Fellows et Niedermeier.Tout d'abord, la méthode de décomposition en régions proposée par Alber, Fellows et Niedermeier, a permis de construire de nombreux noyaux pour des variantes de Domination dans les graphes planaires. Cependant cette méthode comportait un certain nombre d’imprécisions, ce qui rendait les preuves invalides. Dans la première partie de notre thèse, nous présentons cette méthode sous une forme plus rigoureuse et nous l’illustrons par deux problèmes : Domination Rouge Bleue et Domination Totale.Ensuite, la méthode a été généralisée, d'une part, sur des classes de graphes plus larges (de genre borné, sans-mineur, sans-mineur-topologique), d'autre part, pour une plus grande variété de problèmes. Ces méta-résultats prouvent l’existence de noyaux linéaires ou polynomiaux pour tout problème vérifiant certaines conditions génériques, sur une classe de graphes peu denses. Cependant, pour atteindre une telle généralité, il a fallu sacrifier la constructivité des preuves : les preuves ne fournissent pas d'algorithme d'extraction constructif et la borne sur le noyau n'est pas explicite. Dans la seconde partie de notre thèse nous effectuons un premier pas vers des méta-résultats constructifs ; nous proposons un cadre général pour construire des noyaux linéaires en nous inspirant des principes de la programmation dynamique et d'un méta-résultat de Bodlaender, Fomin, Lokshtanov, Penninkx, Saurabh et Thilikos.