Quantitative a posteriori error estimators in Finite Element-based shape optimization

Estimations d'erreur a posteriori quantitatives pour l'approximation des problèmes d'optimisation de forme par la méthode des éléments finis Les méthodes d’optimisation de forme basées sur le gradient reposent sur le calcul de la dérivée de forme. Dans beaucoup d’applications, la fonctionnelle coût dépend de la solution d’une EDP. Il s’en suit qu’elle ne peut être résolue exactement et que seule une approximation de celle-ci peut être calculée, par exemple par la méthode des éléments finis. Il en est de même pour la dérivée de forme. Ainsi, les méthodes de gradient en optimisation de forme - basées sur des approximations du gradient - ne garantissent pas a priori que la direction calculée à chaque itération soit effectivement une direction de descente pour la fonctionnelle coût. Cette thèse est consacrée à la construction d’une procédure de certification de la direction de descente dans des algorithmes de gradient en optimisation de forme grâce à des estimations a posteriori de l’erreur introduite par l’approximation de la dérivée de forme par la méthode des éléments finis. On présente une procédure pour estimer l’erreur dans une Quantité d’Intérêt et on obtient une borne supérieure certifiée et explicitement calculable. L’Algorithme de Descente Certifiée (CDA) pour l’optimisation de forme identifie une véritable direction de descente à chaque itération et permet d’établir un critère d’arrêt fiable basé sur la norme de la dérivée de forme. Deux applications principales sont abordées dans la thèse. Premièrement, on considère le problème scalaire d’identification de forme en tomographie d’impédance électrique et on étudie différentes estimations d’erreur. Une première approche est basée sur le principe de l’énergie complémentaire et nécessite la résolution de problèmes globaux additionnels. Afin de réduire le coût de calcul de la procédure de certification, une estimation qui dépend seulement de quantités locales est dérivée par la reconstruction des flux équilibrés. Après avoir validé les estimations de l’erreur pour un cas bidimensionnel, des résultats numériques sont présentés pour tester les méthodes discutées. Une deuxième application est centrée sur le problème vectoriel de la conception optimale des structures élastiques. Dans ce cadre figure, on calcule l’expression volumique de la dérivée de forme de la compliance à partir de la formulation primale en déplacements et de la formulation duale mixte pour l’équation de l’élasticité linéaire. Quelques résultats numériques préliminaires pour la minimisation de la compliance sous une contrainte de volume en 2D sont obtenus à l’aide de l’Algorithme de Variation de Frontière et une estimation a posteriori de l’erreur de la dérivée de forme basée sur le principe de l’énergie complémentaire est calculée.