Posets série-parallèles transfinis : automates, logiques et théories équationnelles

Nous étudions dans cette thèse des structures généralisant la notion classique de mot. Elles sont construites à partir d’un ensemble partiellement ordonné (partially ordered set ou poset) vérifiant les propriétés suivantes : — elles ne contiennent pas 4 éléments distincts x, y, z, t dont l’ordre relatif est exactement x < y, z < y, z < t (posets dits sans N) ; — les chaînes sont des ordres linéaires dénombrables et dispersés ; — les antichaînes sont finies ; et chaque élément est étiqueté par une lettre d’un alphabet fini. De manière équivalente, la classe des posets que nous considérons est la plus petite construite à partir du poset vide et du singleton, fermée par les produits séquentiel et parallèle finis, et le produit ω et son renversé −ω (posets série-parallèles). Elle est une généralisation à la fois des posets série-parallèles finis étiquetés, en y ajoutant l’infinitude, et des mots transfinis, en affaiblissant l’ordre total des éléments en ordre partiel. En informatique, les posets série-parallèles finis trouvent leur intérêt dans la modélisation des processus concurrents basés sur les primitives fork/join, et les mots transfinis dans l’étude de la récursivité. Les langages rationnels de ces posets étiquetés sont définis à partir d’expressions et d’automates équivalents introduits par Bedon et Rispal, qui généralisent le cas des mots transfinis (Bruyère et Carton) et celui des posets finis (Lodaya et Weil). Dans cette thèse nous les étudions du point de vue de la logique. Nous généralisons en particulier le théorème de Büchi, Elgot et Trakhtenbrot, établissant pour le cas des langages de mots finis l’égalité entre la classe des langages rationnels et celle des langages définissables en logique monadique du second ordre (MSO). La logique mise en oeuvre est une extension de MSO par de l’arithmétique de Presburger. Nous nous intéressons également à certaines variétés d’algèbres de posets. Nous montrons que l’algèbre dont l’univers est la classe des posets série-parallèles transfinis et dont les opérations sont les produits séquentiel et parallèle finis et les produits (resp. puissances) ω et − ω est libre dans la variété correspondante V (resp. V 0). Nous en déduisons la liberté de la même algèbre sans le produit parallèle ou le produit − ω. Enfin, nous montrons que la théorie équationnelle de V 0 est décidable. Ce sont notamment des généralisations de résultats similaires de Bloom et Choffrut pour la variété d’algèbres de mots de longueur inférieure à ω!, de Choffrut et Ésik pour la variété d’algèbres de posets sans N dont les antichaînes sont finies et les chaînes sont de longueur inférieure à ω! et ceux de Bloom et Ésik pour la variété d’algèbres de mots sur les ordres linéaires dénombrables et dispersés.