Strata of holomorphic differentials and cohomology jump loci

Strates de différentielles holomorphes et lieux de saut de cohomologie La thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans le premier partie, nous étudions les strates de différentielles holomorphes du point de vue de la géométrie bialgébrique et de la théorie de Hodge. Nous définissons une structure bialgébrique sur les strates et nous étudions les sous-variétés bialgébriques: nous donnons en particulier une classification partielle des courbes bialgébriques dans la strate minimale. Nous étudions ensuite la distribution des points spéciaux dans les strates. Notamment, ils sont denses dans chaque strate pour la topologie euclidienne. Contrairement aux cas classiques des variétés en groupes commutatifs et des variétés de Shimura, on trouve des sous-variétés ℚ-bialgébriques ne contenant qu'un nombre fini de points spéciaux. En dernier lieu, on s'intéresse aux propriétés de ``modération'' des coordonnées locales des strates et nous prouvons leur définissabilité au sens de l'o-minimalité. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la topologie des variétés algébriques complexes: plus précisément, nous étudions les lieux de saut pour la cohomologie dans l'espace de modules de Betti associé aux variétés algébriques complexes singulières. Nous obtenons des énoncés de structure pour les lieux de saut en rang un pour les variétés normales et pour les variétés projectives dont le premier groupe de cohomologie H¹(X,ℚ) est pur de poids un. Ensuite, nous démontrons la compatibilité des idéaux des lieux de saut avec la théorie de Hodge des anneaux locaux complétés dans la variété de représentations (en tout rang), pour une variété projective lisse. En rang un, nous n'avons pas besoin de l'hypothèse de projectivité ou de lissité et on admet des variétés quasi-projectives normales. En dernier lieu, nous traitons certains lieux de saut pour la filtration du poids et la filtration de Hodge dans la cohomologie des systèmes locaux unitaires de rang un.