Global optimization of polynomial programs with mixed-integer variables

Optimisation globale de programmes polynomiaux en variables mixtes-entières Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des programmes polynomiaux, c'est à dire les problème d'optimisation dont la fonction objectif et/ou les contraintes font intervenir des polynômes de plusieurs variables. Ces problèmes ont de nombreuses applications pratiques et constituent actuellement un champ de recherche très actif. Différentes méthodes permettent de les résoudre de façon exacte ou approchée, en utilisant par exemple des relaxationssemidéfinies positives du type "moments-somme de carrés". Mais ces problèmes restent très difficiles et on ne sait résoudre en toute généralité que des instances de petite taille.Dans le cas quadratique, une approche de résolution exacte efficace a été initialement proposée à travers la méthode QCR. Elle se base sur une reformulation quadratique convexe "optimale" au sens de la borne par relaxation continue.Une des motivations de cette thèse est de généraliser cette approche pour le cas des problèmes polynomiaux. Dans la majeure partie de ce manuscrit, nous étudions les problèmes d'optimisation en variables binaires. Nous proposons deux familles de reformulations convexes pour ces problèmes: des reformulations "directes" et des reformulations passant par la quadratisation.Pour les reformulations directes, nous nous intéressons tout d'abord aux linéarisations. Nous introduisons le concept de q-linéarisation, une linéarisation utilisant q variables additionnelles, et comparons les bornes obtenues par relaxation continue pour différentes valeurs de q. Ensuite, nous appliquons la reformulation convexe au problème polynomial, en ajoutant des termes supplémentaires à la fonction objectif, mais sans ajouter de variables ou de contraintes additionnelles.La deuxième famille de reformulations convexes vise à étendre la reformulation quadratique convexe au cas polynomial. Nous proposons plusieurs nouvelles reformulations alternatives que nous comparons aux méthodes existantes sur des instances de la littérature. En particulier nous présentons l'algorithme PQCR pour résoudre des problèmes polynomiaux binaires sans contrainte. La méthode PQCR permet de résoudre des instances jusqu'ici non résolues. En plus des expérimentations numériques, nous proposons aussi une étude théorique visant à comparer les différentes reformulations quadratiques de la littérature puis à leur appliquer une reformulation convexe.Enfin nous considérons des cas plus généraux et nous proposons une méthode permettant de calculer des relaxations convexes pour des problèmes continus.