Cubic realizations of some combinatorial partial orders

Réalisations cubiques d'ordres partiels combinatoires Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l’étuded’ordres partiels admettant une réalisation géométrique particulière, appelée réalisationcubique. Après avoir introduit les coordonnées cubiques, nous munissons l’ensemble de ces objets de l’ordre de comparaison composante par composante, formant des treillis. Nous établissons ensuite un isomorphisme d’ordres partiels entre les treillis des coordonnées cubiques et les ordres partiels des intervalles des treillis de Tamari. La réalisation cubique des coordonnées cubiques permet une étude géométrique de ces treillis et également de montrer qu’ils sont épluchables. Par ailleurs, nous considérons les treillis de Hochschild qui sont des intervalles particuliers de l’ensemble des chemins de Dyck munis de l’ordre dextre. Ces treillis admettent également une réalisation cubique que nous construisons. Nous montrons entre autres que ces treillis sont épluchables, constructibles par doublement d’intervalles et plusieurs propriétés combinatoires dont le dénombrement des k-chaînes. Finalement, nous construisons trois familles d’ordres partiels dont les ensembles sous-jacents sont dénombrés par les nombres de Fuss-Catalan. Parmi elles, nous obtenons une généralisation des treillis de Stanley et une généralisation des treillis de Tamari. Ces trois familles d’ordres partiels sont liées par une relation d’extension d’ordre et partagent plusieurs propriétés. Deux algèbres associatives sont ensuite construites comme quotients de généralisations de l’algèbre de Malvenuto-Reutenauer. Leurs produits ont pour support les intervalles de nos analogues des treillis de Stanley et des treillis de Tamari. En particulier, un de ces quotients est une généralisation de l’algèbre de Loday-Ronco.