Random interpolation and related properties in spaces of holomorphic functions

Interpolation aléatoire et propriétés associées dans les espaces de fonctions holomorphes Cette thèse explore l’interaction entre l’analyse complexe et la théorie des probabilités en étudiant l’interpolation aléatoire ainsi que des propriétés associées, telles que la séparation et les mesures de Carleson, dans des espaces de fonctions holomorphes. L’étude du cadre aléatoire poursuit deux objectifs principaux. D’une part, dans certaines situations, les caractérisations déterministes de certaines propriétés sont difficiles à vérifier, et le cadre probabiliste peut donner des conditions simples garantissant presque sûrement les propriétés étudiées. D’autre part, même lorsqu’une description déterministe et transparente est connue, l’approche aléatoire permet de déterminer si une propriété est générique. Nous considérons ici trois types de processus aléatoires ponctuels: les suites de Steinhaus, pour lesquelles les modules des points (dans le disque unité, le polydisque, la boule ou le plan complexe) sont fixés alors que leurs arguments sont indépendants et uniformément distribués, ensuite les processus ponctuels de Poisson, pour lesquels le nombre de points dans un ensemble mesurable suit une loi de Poisson dont le paramètre dépend de la mesure de cet ensemble, et enfin les processus déterminantaux, qui induisent une propriété de répulsion naturelle entre les points. La première partie de la thèse traite des suites d’interpolation libre dans la classe de Nevanlinna, qui est la plus grande classe contenant les espaces de Hardy et partageant de nombreuses propriétés avec ceux-ci. Dans la classe de Nevanlinna, les suites d’interpolation sont caractérisées de manière déterministe par des majorants harmoniques dont l’existence est en général difficile à établir. En utilisant les suites de Steinhaus, on montre que la condition deBlaschke, qui caractérise les ensembles de zéros dans la classe de Nevanlinna, est suffisante pour l’interpolation libre avec probabilité un. Rappelons que dans les espaces de Hardy, l’interpolation est fortement liée aux mesures de Carleson qui sont bien comprises dans le cadre d’une variable complexe. Or, la situation devient nettement plus complexe en plusieurs variables. La deuxième partie de cette thèse est ainsi dédiée à l’étude des mesures de Carleson pour les espaces de Hardy, à la fois sur le polydisque et sur la boule unité. En utilisant la théorie des matrices aléatoires appliquée à la matrice de Gram des noyaux reproduisants normalisés, nous obtenons une loi 0-1 pour les mesures de Carleson générées par les suites de Steinhaus dans les espaces de Hardy. Nous montrons en particulier que ces suites sont en réalité caractérisées par une one-box condition. La thèse explore également l’interpolation déterministe dans les espaces de de Branges-Rovnyak définis par des fonctions rationnelles non extrêmes. Ces résultats généralisent les caractérisations précédemment connus des suites d’interpolation. Bien que la situation déterministe soit assez transparente, le cadre des suites de Steinhaus permet de voir que l’interpolation est régie par la multiplicité maximale des zéros sur le cercle unité du binôme pythagoricien de la fonction définissant l’espace de de Branges-Rovnyak. Enfin, la dernière partie de cette thèse est dédiée à l’étude des processus déterminantaux dans les espaces de Fock généralisés. Bien qu’il soit connu que le processus déterminantal associé à l’espace de Fock classique n’est presque sûrement pas séparé par rapport à la distance euclidienne, nous identifions des conditions précises sous lesquelles le processus associé à un espace de Fock généralisé plus petit est presque sûrement séparé pour la distance euclidienne correspondant à l’espace de Fock classique.