Numerical Study of Davey- Stewartson I systems

Étude numérique des systèmes Davey-Stewartson I Dans cette thèse, nous discutons, numériquement, les problèmes d’explosions, une perte de régularité d’une solution de certaines EDP par rapport à la donnée initiale, pour des équations dispersives non linéaires. L’explosion est un phénomène qui peut apparaître dans le contexte d’équations nonlinéaires d’évolution telles que l’équation de Burgerssans viscosité, indiquant une existence finie en temps de leurs solutions ou un collapse catastrophique du système dynamique sous-jacent dans la modélisation de situations réalistes. C’est-à-dire qu’il existe un t_∗ < ∞ tel que pour t → t_∗ certaines normes de la solution, comme les normes ‖·‖_q for 1 ≤ q ≤ ∞ divergent. Comme des explosions peuvent apparaître pour un grand nombre d’équations d’évolution, elles sont intéressantes d’un point de vue mathématique et physique, de savoir pourquoi, de quelle manière et avec quel profile l’explosion se produit. Quelques équations dispersives non linéaires avec une non-linéarité polynomiale, telle que les familles d’équations de Schrödinger non-linéaires(NLS), de Davey-Stewartson (DS), peuvent avoir des solutions avec une explosion en temps fini. Les équations NLS font partie des EDP dispersives non linéaires importantes dans des applications telles que l’optique non linéaire, les ondes d’eau e.t.c. Cependant, une explosion pour NLS peut apparaître en fonction de la puissance de la non-linéarité pour des données initiales particulières. Il s’avère que l’étude du type de l’explosion pour des équations NLS est difficile sans méthodes numériques robustes avec une amélioration dynamique de la résolution proche de l’explosion. Par un changement dynamique d’échelles des équations NLS, on étudie les propriétés d’explosion de solutions avec des simulations numériques. La méthode de changement d’échelles dynamique nous permet de faire des simulations numériques près d’une singularité aussi précises que possibles. L’idée de base de ce changement d’échelles consiste à exploiter une symétrie exacte de NLS avec un changement simultané de l’espace, du temps et de la solution, mais avec un facteur dépendant du temps. Cela permet d’étudier une explosion auto-similaire avec un schéma allouant automatiquement la résolution numérique si nécessaire. Pour les équations NLS, nous présentons des résultats numériques concernant la structure de l’explosion dans dimension deux et plus dans une situation avec symétrie radiale. Parce que le système DS est une généralisation en deux dimensions de l’équation NLS, des études d’explosion similaires peuvent être effectuées. Notre intérêt principal est le soi-disant système DS I qui peut être vu comme une équation NLS non locale. Nous présentons une approche de haute précision pour traiter numériquement les anti-dérives de cette équation. Cette approche est hybride et utilise une régularisation analytique du symbole de Fourier singulier pour ces anti-dérivés pour des solutions de la classe de Schwartz. Une méthode spectrale de Fourier est appliquée au résiduel menant à une précision spectrale, c’est-à-dire une diminution exponentielle d’erreurs. Avec ce code, nous étudions la structure d’explosion des solutions pour Davey-Stewartson (DS) I intégrablepour des conditions aux limites triviales à l’infini avec les données initiales de la classe de Schwartz. Les solutions stationnaires localisées sont construites et montrées d’être instables par rapport à la dispersion et l’explosion. Une explosion en temps fini des données initiales de la classe de Schwartz est discutée.