Weighted Radon transforms and their applications

Transformations de Radon pondérées et leurs applications Cette thèse est consacrée à l'étude des problèmes inverses des transformations de Radon pondérées dans les espaces euclidiens. D'une part, nos études sont motivées par l'application des transformations de Radon pondérées pour différentes tomographies, par exemple en tomographie d'émission (PET, SPECT), en tomographie de fluorescence et en tomographie optique. En particulier, nous développons une nouvelle approche de reconstruction pour les tomographies en 3D, où les données sont modélisées par des transformations des rayons pondérées le long des rayons parallèles à un plan fixe. À cet égard, nos résultats contiennent : des formules pour la réduction des transformées des rayons pondérés en transformées de Radon le long de plans en 3D ; un analogue de la formule d'inversion approximative de Chang et un analogue de l'algorithme d'inversion itératif de type Kunyansky pour les transformations de Radon pondérées en multidimension ; des reconstructions numériques à partir de données simulées et réelles. D'autre part, nos études sont motivées par des problèmes mathématiques liés aux transformations susmentionnées. Plus précisément, nous poursuivons l'étude de l'injectivité et de la non-injectivité des transformations de Radon et des transformations des rayons pondérées en multidimension et construisons une série de contre-exemples à l'injectivité de ces dernières. Ces contre exemples sont intéressants et, dans un certain sens, inattendus parce qu'ils sont proches des cas où ces transformations deviennent injectives. En particulier, par l'une de nos constructions, nous donnons des contre-exemples à des théorèmes d'injectivité bien connus pour les transformations des rayons pondérées (Quinto (1983), Markoe, Quinto (1985), Finch (1986), Ilmavirta (2016)) lorsque les hypothèses de régularité des poids sont légèrement relaxées. Par ce résultat, nous montrons en particulier que les hypothèses de régularité sur les poids sont cruciales pour l'injectivité et qu'il y a une "brisure" de cette dernière si les hypothèses sont légèrement affaiblies.