Mathematical and numerical methods for modeling and computing the cyclic steady states in non-linear mechanics

Méthodes mathématiques et numériques pour la modélisation et le calcul des états établis cycliques en mécanique non-linéaire Ce travail a pour objet l’étude des techniques rapides pour calculer l’état cyclique établi des problèmes d’évolution en mécanique non-linéaire avec des conditions de périodicité en espace-temps. Un exemple typique est le roulage stationnaire d’un pneu présentant des sculptures périodiques, où l’état en chaque point est le même que l’état observé au point correspondant de la sculpture suivante une période en temps auparavant.L’application de solveurs directs pour la solution de tels problèmes est impossible car ils exigent l’inversion des matrices gigantesques. Pour résoudre ce genre de problèmes, les logiciels de calcul utilisés dans l’industrie recherchent une telle solution cyclique comme la limite asymptotique d’un problème à valeur initiale avec des données initiales arbitraires. Cependant, quand le temps de relaxation du problème physique est élevé, la vitesse de convergence vers le cycle limite peut devenir trop lente. Comme on ne s’intéresse pas à la solution transitoire et que seul importe d’avoir un accès rapide au cycle limite, le développement des méthodes qui accélèrent la convergence vers le cycle limite sont d’un grand intérêt. Ce travail développe, étudie et compare deux techniques d’analyse et de calcul rapide de la solution périodique en espace-temps.La première est la méthode de Newton-Krylov, qui considère l’état initial comme l’inconnue du problème à calculer à partir de la condition de périodicité. Le problème résultant est résolu par l’algorithme de Newton-Raphson. Comme le Jacobien associé ne s’exprime pas explicitement mais uniquement implicitement à travers son action par multiplication, il est nécessaire d’introduire des solveurs itératifs de type Krylov. Par réutilisation optimale de l’information obtenue sur le Jacobien pendant le calcul du résidu, la résolution du système linéaire par algorithme de Krylov devient très rapide et de faible coût par rapport au calcul de l’erreur de périodicité. Cette technique de calcul peut être vue comme une méthode de tir. Mais nous l’écrivons ici par changement de variables sous la forme d’une méthode de type observateur-contrôleur, qui corrige la solution transitoire après chaque cycle et accélère ainsi la convergence vers la limite cyclique.La deuxième méthode de calcul et d’analyse proposée dans ce travail met en œuvre une modification du problème d’évolution initial en y introduisant un terme de contrôle rétroactif, basé sur l’erreur de périodicité. Le contrôle rétroactif est un outil bien connu et puissant dans le cadre de la stabilisation des orbites périodiques instables des processus chaotiques. Dans le cadre de ce travail, il est appliqué à un système initialement stable pour accélérer la convergence vers la limite cyclique. De plus, le terme de contrôle inclut les décalages en temps ainsi qu’en espace, ce qui complique son analyse. L’enjeu est ici de construire l’opérateur de gain à appliquer à l’erreur de périodicité dans le terme de contrôle. Dans un cadre linéaire très général, après décomposition spectrale et introduction des fonctions de Lambert, nous pouvons analyser explicitement l’existence et la convergence de solutions en temps, et construire la forme optimale du gain qui assure la convergence la plus rapide vers la solution cyclique. L’efficacité de la méthode proposée croit avec le temps de relaxation du problème. L’algorithme est présenté sous la forme d’un schéma prédicteur-correcteur en temps, où l’étape de correction est explicite et de très faible coût numérique. Sous cette forme, le contrôle proposé a été adapté et testé sur des problèmes non-linéaires. Les deux méthodes ont été appliquées sur diverses applications académiques et comparées à la méthode asymptotique classique. Enfin, elles ont été intégrées et mises en œuvre dans le code industriel de Michelin pour application au roulage stationnaire d’un pneu complet avec sculptures périodiques en présence de forces de contact au sol en régime de frottement adhérant-glissant.