Galois representations of elliptic curves and Entanglement of division fields

Représentations galoisiennes des courbes elliptiques et enchevêtrement des corps de division Soit E/F une courbe elliptique sur un corps de nombres. Le groupe absolu de Galois de F agit sur les points de m-torsion de la courbe, donnant une représentation galoisienne ρE,m du groupe absolu de Galois dans GL2(Z/mZ). Le groupe de Galois de l’extension F (E[m])/F , engendrée par les coordonnées des points d’ordre m de la courbe, est isomorphe à l’image de ρE,m. Un résultat de Serre de 1972 et d’autres plus récents montrent que cette représentation est surjective pour presque toutes les courbes elliptiques définies sur F. Dans cette thèse, on travaille sur l’enchevêtrement des corps de division, autrement dit sur la non-surjectivité des représentations ρE,m, lorsque m n’est pas premier. D’une part, on questionne la possibilité d’avoir la coïncidence de deux corps de division F (E[m]) = F (E[n]) pour des entiers m,n distincts. Cette question a déjà été traitée pour F étant le corps des rationnels. Dans cette thèse, on donne des résultats sur les corps de nombres. D’autre part, dans le cadre du problème inverse de Galois, on souhaite une méthode pour construire des polynômes avec corps de décomposition F(E[m]). Cette question a déjà été traitée pour m=p un premier et ρE,p surjective. Dans cette thèse, on généralise le résultat à tous les entiers m et à toutes les images de ρE,m possibles. De plus, on donne un minorant pour les valuations des coefficients des polynômes obtenus