On the geometry of random hyperbolic 3-manifolds

Sur la géométrie des variétés hyperboliques tridimensionelles aléatoires Dans cette thèse, nous étudions la géométrie des variétés tridimensionnelles (3-variétés) hyperboliques typiques, lorsque leur volume tend vers l'infini. Pour cela, nous considérons un modèle de 3-variétés hyperboliques aléatoires, appelé triangulations aléatoires. Il s'agit des variétés compactes à bord construites en collant aléatoirement des tétraèdres tronqués le long de leurs faces.Nous prouvons que, lorsque le volume tend vers l'infini, leur spectre des longueurs converge en distribution vers un processus ponctuel de Poisson sur ℝ>0, d'intensité calculable λ.Nous étudions également la systole, c'est-à-dire, le premier élément du spectre des longueurs. Plus précisément, nous montrons que la limite, lorsque le volume tend vers l'infini, de l'espérance de la systole de ces variétés existe, et nous en donnons une formule fermée. De plus, nous calculons une approximation numérique de cette valeur.L'idée générale derrière les preuves est de comprendre la combinatoire du complexe composé de tétraèdres tronqués, et ensuite d'en déduire ses propriétés géométriques. Ces propriétés combinatoires sont (presque toutes) contenues dans le graphe dual du complexe. Ainsi, la plupart des arguments dans ces preuves combinent des résultats provenant de la géométrie hyperbolique, de la théorie des graphes aléatoires et de la théorie des probabilités.