Reduced Order Models, Forward and Inverse Problems in Cardiac Electrophysiology

Modèles d'ordre réduit, problèmes directs et inverses en électrophysiologie cardiaque Cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude des problèmes directe et inverse en électrophysiologie cardiaque. Comme les équations qui décrivent l'activité électrique du coeur peuvent être très couteuses en temps de calcul, une attention particulière est apportée aux méthodes d'ordre réduit et à leur applications aux modèles de l'électrophysiologie.Dans un premier temps, nous introduisons les modèles mathématiques et numériques de l'électrophysiologie cardiaque. Ces modèles nous permettent de réaliser des simulations numériques que nous validons à l'aide de plusieurs critères qualitatifs et quantitatifs trouvés dans la littérature médicale. Comme notre modèle prend en compte les oreillettes et les ventricules, nous sommes capables de reproduire des cycles complets d'électrocardiogrammes (ECG) à la fois dans des conditions saines et dans des cas pathologiques.Ensuite, plusieurs méthodes d'ordre réduit sont étudiées pour la résolution des équations de l'électrophysiologie. La méthode Proper Orthogonal Decomposition (POD) est appliquée pour la discrétisation des équations de l'électrophysiologie dans plusieurs configurations, comme par exemple la simulation d'un infarctus du myocarde. De plus, cette méthode est utilisée pour résoudre quelques problèmes d'identification de paramètres comme localiser un infarctus à partir de mesures d'un électrocardiogramme ou simuler une courbe de restitution. Pour contourner les limitations de la POD, une nouvelle méthode basée sur des couples de Lax approchés (Approximated Lax Pairs, ALP) est utilisée. Cette méthode est appliquée aux problèmes directe et inverse. Pour finir, un nouvel algorithme, basé sur les méthodes ALP et l'interpolation empirique discrète, est proposé. Cette nouvelle approche améliore significativement l'efficacité de l'algorithme original ALP et nous permet de considérer des modèles plus complexes utilisés en électrophysiologie cardiaque.