Patchworking, tropical homology, and Betti numbers of real algebraic hypersurfaces

Patchworking, homologie tropicale, et nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles Dans cette thèse, nous étudions les nombres de Betti de la partie réelle d'hypersurfaces algébriques réelles et leur lien avec l'homologie de la partie complexe, ainsi que l'homologie tropicale d'hypersurfaces tropicales. En particulier, nous développons une technique de construction d'hypersurfaces algébriques réelles basée sur la méthode du Patchworking de Viro, et l'utilisons pour générer des familles d'hypersurfaces dont les parties réelles ont des nombres de Betti asymptotiquement grands. Nous prouvons également des analogues tropicaux au théorème de la section d'hyperplan de Lefschetz, et montrons que l'homologie des hypersurfaces tropicales projectives non-singulières est sans torsion. Enfin, nous étudions l'action de la conjugaison complexe sur l'homologie d'une certaine classe d'hypersurfaces algébriques réelles élémentaires utilisées dans un cas particulier important de la méthode de Viro, et déterminons les conditions sous lesquelles elles sont Galois-maximales.