Oriented supersingular elliptic curves and class group actions

Cette thèse s’articule autour de divers aspects des courbes elliptiques supersingulières, de leurs anneaux des endomorphismes et des graphes d’isogénies associés. Nous introduisons une nouvelle catégorie de courbes elliptiques supersingulières orientées, au moyen d’un plongement d’un ordre d’un corps de nombres quadratique imaginaire dans l’anneau d’endomorphismes d’une courbes elliptique supersingulière, et nous obtenons les propriétés du graphe d’isogénie associé. Nous établissons un modèle de calcul qui permet de décrire une action d’un groupe de classes compatible sur ces objets et nous fournissons la description théorique et pratique de la façon dont cette action fonctionne sur les courbes, les chaînes d’isogénies et tout le graphe orienté. Comme application, nous introduisons un protocole d’échange de clés de Diffie et Hellman à base d’isogénies supersingulières orientées (OSIDH), analogue au protocole Diffie et Hellman supersingulier (SIDH) et qui généralise le protocole CSIDH.En parallèle, nous développons la version modulaire de notre construction. Nous montrons que l’action de groupe peut être effectuée efficacement sur les séquences de points de moduli sur une courbe modulaire uniquement et qu’elle est plus susceptible d’être accéléré en imposant une structure de niveau appropriée. Dans cette direction, nous décrivons une famille de courbes modulaires efficace pour la mise en œuvre de ces idées et nous calculons les propriétés du graphe d’isogénies correspondant, à la fois orienté et non-orienté. Enfin, en utilisant des courbes modulaires avec structure de niveau, nous généralisons l’approche modulaire au protocole OSIDH et nous améliorons sa complexité.