Derived categories, surfaces and localization

Catégories dérivées, surfaces et localisation Cette thèse étudie la localisation des catégories de Fukaya topologique de surfaces marquées graduées, telles que définies par Haiden-Katzarkov-Kontsevich, en une collection d'objets sphériques compatibles. Géométriquement, une telle collection correspond à une famille de courbes fermées simples graduées disjointes sur la surface. Nous chercherons à motiver l'idée que la catégorie localisée peut jouer le rôle d'une catégorie de Fukaya topologique pour la surface singulière obtenue en contractant les courbes fermées simples correspondantes. Dans le premier chapitre, nous rappelons des résultats classiques de la théorie des représentations des algèbres aimables et introduisons les concepts qui nous seront utiles pour les catégories A∞, avant de présenter la construction de la catégorie de Fukaya topologique d'une surface marquée graduée. Certains aspects du modèle géométrique pour la catégorie dérivée bornée d'une algèbre aimable sont également présentés. Dans le deuxième chapitre, nous définissons une classe d'algèbres données par carquois et relations, que nous appelons algèbres aimables contractées. En se basant sur un résultat similaire pour les algèbres aimables, nous montrons que les carquois gradués contractées sont en bijection avec les surfaces marquées avec singularités coniques munies d'une dissection graduée admissible simple. Nous étudions ensuite un enrichissement différentiel gradué (DG) de la localisation de la catégorie dérivée parfaite d'une algèbre aimable par une sous-catégorie engendrée par une collection d'objets sphériques compatibles. Nous montrons que chaque algèbre aimable contractée peut-être réalisé comme anneau d'endomorphisme d'un générateur formel d'un tel quotient DG. Afin de montrer la formalité, nous utilisons une suite spectrale sur les espaces de morphisme d'un quotient DG et nous décrivons sa première page en toute généralité. Enfin, nous déduisons d'un résultat de Gyenge le fait que la catégorie dérivée d'une algèbre aimable contractée prend place dans un recollement similaire à celui obtenu par Chang-Jin-Schroll pour les localisations en une collection d'arcs compatibles. Le troisième chapitre est essentiellement une généralisation des résultats du second, en élargissant la classe des générateurs formels obtenus pour les localisations de catégories de Fukaya topologiques par des objets sphériques compatibles. Plus précisément, une généralisation de la classe des algèbres aimables contractées est donnée, ainsi qu'une généralisation de la notion de dissection admissible d'une surface marquée avec singularités coniques. La bijection entre ces deux classes d'objets, établie au chapitre deux, est alors décrite dans cette nouvelle généralité. Nous étudions ensuite un enrichissement A∞ du quotient triangulé et montrons que chaque algèbre aimable contractée peut-être réalisé comme anneau d'endomorphisme d'un générateur formel. Le calcul de la formalité est effectué cette fois-ci au moyen d'un transfert d'homotopie de structure A∞. Cette construction nous permet d'associer à une surface graduée marquée avec singularités coniques S munie d'une dissection admissible A, une catégorie F_A(S) qui engendre la catégorie dérivée parfaite d'une algèbre aimable contractée. Une conséquence immédiate des équivalences données dans le cas lisse par Haiden-Katzarkov-Kontsevich est que la classe d'équivalence de Morita de F_A(S) est indépendante de A. Nous donnons au passage deux bases pour les algèbres aimables contractées, l'une étant obtenue par une application du lemme du diamant de Bergman. La dernière section donne un exemple de catégorie triangulée non-Krull-Schmidt contenant deux objets bousculants ayant un nombre différent de composantes directes indécomposables.