Dynamic seismo-electric coupling : from frequency to time domain models

Couplage sismo-électrique dynamique : des modèles fréquentiels aux modèles temporels Cette thèse s'intéresse à la modélisation mathématique des effets sismo-électriques qui se produisent dans des milieux poreux constitués de fluide chargé au sein d'une matrice solide de charge opposée. Ainsi, le milieu est neutre à l'échelle macroscopique, mais les déplacements relatifs entre le solide et le fluide induisent des courants électriques (déplacement de charges). Les ondes sismiques se propageant dans ces milieux induisent des écoulements locaux de fluide, donc des déplacements de charges, conduisant à la création d'ondes électromagnétiques. Mathématiquement, ceci est modélisé par les équations de poro-élasticité de Biot couplées aux équations de Maxwell. La théorie du couplage dérivée par S. Pride en 1994 est réalisée dans le domaine fréquentiel, et les paramètres de couplage (coefficient de couplage et perméabilité dynamique) dépendent de la fréquence, d'une manière qui induit de fortes difficultés en domaine temporel. En interprétant ces paramètres comme des symboles d'opérateurs pseudo-différentiels globaux en temps, on comprend que l'écriture du modèle dans le domaine temporel fait intervenir des opérateurs dont la discrétisation va générer de très lourds coûts de calcul. Cela explique pourquoi les simulations réalisées dans le domaine temporel impliquent toujours un modèle très basse fréquence dans lequel la dépendance en fréquence des paramètres est masquée. Deux développements principaux sont réalisés. Le premier s'intéresse à l'approximation des opérateurs de couplage dépendants de la fréquence, afin d'obtenir des équations sismo-électriques temporelles de plus grande fidélité, c'est-à-dire valable pour un régime de fréquence plus large que celui de la très basse fréquence. Cela ouvre ainsi la perspective d'utiliser des modèles en temps valide à l'échelle du laboratoire. Cette thèse introduit plusieurs types d'approximations polynomiales et rationnelles et les étudie numériquement, conduisant à de nouvelles équations temporelles, qui prennent en compte la nature dynamique du couplage. A basse fréquence, des approximants locaux tels que Padé ou Taylor (très basse fréquence) peuvent être utilisés. Des approximations globales --- de type Legendre et Chebyshev --- sont utilisées avec des fréquences élevées, ou une large bande de fréquence. Ces approximations sont testées numériquement en utilisant des solutions analytiques, ainsi qu'avec des solutions calculées avec le solveur basé sur une méthode de type Galerkine discontinu hybride (HDG) dans un contexte de calcul parallèle.Le deuxième développement concerne l'analyse mathématique du système d'équations de Pride dans le domaine temporel avec couplage fort (de Biot vers Marwell et de Maxwell vers Biot). Considérer ce couplage bidirectionnel introduit des difficultés pour prouver le caractère bien posé du problème. Ainsi, seules les équations couplées unidirectionnelles ont été démontrées comme étant bien posées, à savoir avec un couplage électro-sismique. Deux approches sont introduites. Premièrement, une application du théorème de Hille-Yosida au système entier en se plaçant dans une approximation basse fréquences du système. Deuxièmement, nous employons une technique de point fixe, afin de montrer qu'il existe une unique solution du système entièrement couplé au sens faible.