Powers of Blaschke factors and products : Fourier coefficients and applications

Puissances de facteurs et de produits de Blaschke : coefficients de Fourier et applications Dans cette thèse, nous calculons les formules asymptotiques pour n grand, des coefficients de Fourier de la puissance n ième d'un facteur de Blaschke, permettant de prolonger et d'affiner les estimations déjà existantes. Pour cela, nous utilisons des outils classiques d'analyse asymptotique: la méthode de la phase stationnaire et celle de la descente la plus raide. Puis en application, nous construisons des fonctions fortement annulaires dont les coefficients de Taylor satisfont des propriétés de sommation nous permettant de généraliser et d'affiner les résultats de D.D. Bonar, F.W. Carroll et G. Piranian (1977). En utilisant des polynômes plats, nous élaborons aussi une autre construction de telles fonctions à partir d'un théorème de E. Bombieri et J. Bourgain (2009). Par ailleurs, nous obtenons une majoration asymptotiquement exacte, pour n grand, de la suite (\widehat{B^n} (k))_{k \geq 0} des coefficients de Fourier de la puissance n ième d'un produit de Blaschke fini quelconque B, que nous appliquerons dans la dernière partie de la thèse à une question d'analyse matricielle/théorie des opérateurs, énoncée par J. J. Schäffer en 1970. Nous élaborons aussi des exemples constructifs de produits de Blaschke finis qui atteignent nos majorants. Enfin nous étudions le conditionnement de matrices T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) pour n grand, matrices dont le spectre est donné et qui agissent sur un espace de Hilbert ou de Banach, en particulier pour les matrices de Kreiss. Dans le cas banachique, nous utilisons notre majoration des \widehat{B^n}(k) pour construire des matrices de spectres donnés arbitraires réfutant la conjecture de Schäffer