Variations catégorielles sur les quantales de Frobenius

Categorical variations on Frobenius quantales L'objectif premier de cette thèse est d'étudier d'un point de vue catégorique le théorème suivant : un treillis est complètement distributif si et seulement si le quantale des endomorphismes de ce treillis est un quantale de Frobenius. Nous avons ainsi rencontré une définition des quantales de Frobenius qui, contrairement à la définition usuelle, n'implique pas d'unité. La première contribution de cette thèse est une étude des quantales de Frobenius sans unité. Nous généralisons la théorie des nuclei à ces quantales permettant ainsi d'obtenir des "négations classiques" à partir de "négations intuitionnistes". Grâce à cette théorie nous donnons un théorème de représentation de ces quantales en terme de quantales de phase, c'est-à-dire comme quotient du quantale libre sur un semi-groupe. Nous fournissons des exemples de quantales de Frobenius sans unité dont le quantale des endomorphismes serrés sur un treillis complet L. Ce quantale est toujours un quantale de Frobenius et nous montrons qu'il possède une unité si et seulement si le treillis L est complètement distributif.La seconde partie répond directement à notre premier objectif. Nous donnons une définition des structures de Frobenius dans une catégorie monoïdale symétrique quelconque en suivant de très près la définition des quantales de Frobenius sans unité. Pour ce faire, nous introduisons les paires duales qui généralisent le dual d'un objet. Cette notion permet notamment d'étudier le dual d'un objet à isomorphisme près. Nous montrons précisément comment, et à quelles conditions il est possible de transiter entre les structures de Frobenius, telles que nous les avons définies, et les différentes définitions d'algèbre de Frobenius bien établies dans la littérature. Surtout, nous démontrons que, dans une catégorie étoile-autonome, le monoïde des endomorphismes d'un objet nucléaire peut toujours être doté d'une structure de Frobenius. Nous montrons aussi que, sous certaines conditions, une "négation intuitionniste" induit une structure de Frobenius sur son image. De plus, nous exposons une condition suffisante pour que, si l'objet des endomorphismes est une structure de Frobenius, alors cet objet est nucléaire. Nous appelons pseudo-affines les catégories qui vérifient cette condition. Afin d'explorer cette condition nous construisons une catégorie étoile-autonome qui n'est pas pseudoaffine. Le troisième et dernier moment de cette thèse étudie et généralise la construction de Shalk et de Paiva. Nous nous demandons à quelles conditions la structure monoïdale, monoïdale fermée ou étoile-autonome d'une catégorie C peut être élevée à la catégorie totale d'un foncteur de domaine C et de codomaine Pos, la catégorie des ensembles partiellement ordonnés. Pour ce faire, nous fournissons une bijection entre les élévations de functeurs et certaines transformations lax-naturelles. Nous donnons aussi les conditions exactes pour que les adjunctions soient elles aussi élevées. Notamment lorsque le foncteur Q est monoïdal et se factorise de façon monoïdale via SLatt, la catégorie des sup-treillis complets, la catégorie totale sur Q est monoïdale fermée si et seulement si la catégorie de base C l'est. Nous fournissons ensuite une caractérisation précise pour que la catégorie totale soit étoile-autonome. Finalement nous développons une théorie des nuclei pour les functeurs monoïdaux dont le codomaine est SLatt, analogue à celle des quantales. Cette théorie nous permet de constuire un foncteur dont la catégorie totale est étoile-autonome à partir d'un foncteur monoïdal de codomaine Slatt quelconque. Tout comme pour les quantales de Frobenius, cette théorie des nuclei nous permet d'obtenir un théorème de représentation des foncteurs dont la catégorie totale est étoile autonome. Nous terminons cette thèse en montrant que ces foncteurs sont exactement les structures de Frobenius dans la catégorie étoile-autonome des foncteurs dont le domaine est étoile-autonome et le codomaine est SLatt